Задание С4

Задача 1.

С4007. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят стону ЕВС точками M и N так, что ВМ : MN = 1 : 2. Найдите ВС, если АВ = 12.

Задача 2.

С4006. В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4.

Задача 3.

С4001. Четырехугольник AВCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ = а и CD = b.

Задача 4.

С4012. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что OAMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники ВМС и AMD равны соответственно r и R.

Задача 5.

С4003. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ=4 и ВС=10 на стороне AD расположены точки М н N таким образом, что DM= 4, при этом Р – точка пересечения прямых BN н СМ. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точ­ки М и N.

Задача 6.

С4004. Прямая касается окружностей радиусов R и г в точках А и В. Известно, что расстояние между центрами равно а, причем r > – 3.

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: – 3 < < 3.

Неравенство – 3 < выполняется при всех а ≤ ,

неравенство < 3 – при – 2 < а ≤ .

Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; .

Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.

Ответ. 0.

Задача 5. При каких значениях параметра а число корней уравнения ? – х = 0 равно а?

Решение.

Построим эскиз графика функции, у = ? – х при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части (х ≥ 0).

Также учтем, что трехчлен х2 – 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7,

при х = 0 у = 7, а при х = 4 у = – 9 (минимум).

На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола у = х2 – 8х + 7

с минимумом умин = 9 при х мин = 4, и корнями х1 = 1 и х2 = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = 2 – 8х +

(1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы

х2 – 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).

Проводя горизонтали у = а, а N, получаем k точек ее пересечение с линиями эскиза графика.

Имеем:

а	0	[1; 6]	7	8	9
k	4	8	7	6	4	2

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ. 7.

Задача 6. Укажите значение параметра а, при котором уравнение х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет три различных корня.

Решение.

Всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х =

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = .

Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем:

(2а – 1) = (2а – 1)2 = 17 – 4а

4а2 – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.

Ответ. 2.

Задача 7. Укажите целое значение параметра p, при котором уравнение

cosx – 2sinx = + имеет решение.

Решение.

р ≥ 0; и 2 – р ≥ 0 р ≤ 2;

объединяя допустимые значения параметра р, имеем: 0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2 х принадлежит пустому множеству (в силу ограниченности синуса).

При р = 1 исходное уравнение принимает вид: cosx-2sinx = +1.

Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет

= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2,

при этом sinx = sin (arctg(-2)) = ,

cosx – 2sinx = , что меньше +1.

Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.

При р = 2 исходное уравнение принимает вид: .

Максимальное значение разности составляет при х = arctg(-)

(при этом sinx = , cosx = ).

Поскольку > +1, то уравнение = будет иметь решение.

Ответ. 2.

Задача 8. Определить число натуральных n, при которых уравнение не имеет решения.

Решение.

х ≠ 0, n ≠ 10.

Уравнение х2 – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0,

т.е. 16 + n(n-10) < 0 n2 -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) sinx > 0 1 < < + ,

1 > cosx > 01 < < + ,

Следовательно, 2 < а < + .

Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

= а2 = а2

= а2.

Введем переменную z = .

Тогда исходное уравнение примет вид: z2 + 2z – а2 = 0.

Оно имеет решение при любом а, поскольку дискриминант D = 1 + а2 положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ. 3.

Задача 10.

Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение.

Пусть система имеет решение (x;y).

Если x не равен 0, то система имеет второе решение (-x;y). Значит, решение может быть единственным, только при x = 0.

Подставим x=0 в первое уравнение: y = a – 2. Пара (0;a – 2) должна удовлетворять второму уравнению:

(a – 2)2= 4, откуда a = 0 или a = 4.

Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение.

Первый случай: a = 0. Система принимает вид: Графиком функции y = |x| – 2 является угол, который имеет с окружностью x2+y2=1 три общие точки. Значит, при a=0 система имеет три решения. Второй случай, a = 2. Система принимает вид Из первого уравнения следует, что при x, не равном нулю, y > 2, а из второго уравнения при x, не равном нулю получаем, что |y| < 2. Следовательно, при x, ≠ 0 система решений не имеет. Значит, при a = 4 есть только одно решение x = 0, y = 2. Ответ. а = 4.

Задача 11. Найти все значения параметра a, при которых уравнение 4х – |3х – |х + а|| = 9 |х – 1|

имеет хотя бы один корень.

Решение:

Запишем уравнение в следующем виде:

.

Функция непрерывна и

1) неограниченно возрастает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

где

2) убывает при , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:

где .

Следовательно, свое наименьшее значения функция примет при , а уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда

Решим это неравенство:

Ответ. .

Задача 12. Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство

|x? — ax + │x? + x + 1│ < 3 выполняется при всех x.

Решение.

Т.к. x? + x + 1 > 0

│x? — ax + 1│< 3 x? + 3x + 3

Получаем два случая: