Задание B9

Задание B9 на вычисление площадей поверхности или объемов геометрических тел. Для успешного выполнения этого задания ученику достаточно уметь решать простые стереометрические задачи и производить вычисления по известным формулам.

Типичные ошибки.

1. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических тел;

2. Не знают формул вычисления объемов геометрических тел.

Рекомендации.

1. Повторите формулы вычисления площадей геометрических фигур, объемов геометрических тел;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Основные типы задач В9.

І тип. Одна из самых распространенных задач В9:посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например:

Задача 1.

Найти объем изображенного многогранника.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = a · b · c

Очевидно, нам дан большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка».

Объем найти просто. Необходимо из объема большого параллелепипеда вычесть объем маленького:

5 · 3 · 5 – 2 · 1·· 2 = 75 – 4 = 71

Ответ. 71

Задача 2. Найти площадь поверхности многогранника из задачи 1.. Решение. Нужно посчитать сумму площадей всех граней: верхней, нижней, передней, задней, правой, левой с учетом вырезанных прямоугольников.
	Можно сделать это напрямую. С другой стороны, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна: S = (3 · 5 + 5 · 5 + 3 · 5) = 110. Но есть и способ проще. В этот момент и наступает понимание. Каким бы способом вы ни решали, результат один – площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали. Ответ. 110.
Задача 3. Найти площадь поверхности многогранника Решение. S = 2 ·(4 ? 3 + 3 ?· 5 + 4 ? 5) = 72 Ответ. 72
Задача 4. Найти площадь поверхности многогранника. Решение. Площадь поверхности параллелепипеда: S = [1 · 7 + 1 · 5 + 5 · 7] · 2 = 96 Она фактически равна площади изображенного многогранника:

замечаем: первый способ проще!

Ответ. 96

ІІ тип. Найти объем тела, вписанного в другое объемное тело.

Задача 5.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1.

Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = S осн.· h

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: h = 1.

Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности: a = 2r

Итак, площадь основания параллелепипеда равна: Sосн = (2r)? = 4,

Объем: V = 4 ? 1 = 4.

Ответ. 4

Задача 6.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V/π.

Решение.

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть h = 4.

Найдем радиус его основания.

Рассмотрим вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность, следовательно, радиус окружности – есть половина гипотенузы.

Гипотенуза: c? = 6? + 8? = 100

с = 10

То есть r = 5

.объем цилиндра: V = S осн.· h

S осн = π r? = 25 π

V	=	25 π · 4	=	100
π		π

Ответ. 100

Задача 7.

В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ. 8.

ІІІ тип. Задачи, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. И нужно узнать, как изменится объем или площадь поверхности.

Задача 8.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании – правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого.

Площадь этого треугольника будет больше в 4 раза.

Объем воды остался неизменным.

Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.

Ответ. 3.

Задача 9.

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Решение.

Объем цилиндра: V = πR2 h

	Высота	Радиус	Объем
Первая кружка	h	R	πR2h
Вторая кружка	½ · h	2R	π · (2R)2 · ½ h

Получили объем второй кружки:

V = 2πR2 h.

Он в два раза больше объема первой кружки.

Ответ. 2

Задача 10.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение.

Высота меньшей призмы такая же, как и у большой.

Площадь ее основания в 4 раза меньше, так как средняя линия треугольника равна половине основания.

Значит, объем отсеченной призмы равен также в 4 раза меньше, чем объем большой призмы, т.е. 8.

Ответ. 8

Задача 11.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Решение.

Октаэдр представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. Если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 32 = 9.

Ответ: 9.

ІV тип. Задачи, в которых надо найти объем части геометрического тела.

Задача 12.

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.

Решение.

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».

Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° – это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых.

Объем всего цилиндра:

V = πR2 h = π15? ? 5 = 1125π.

Умножаем полученный результат на пять шестых, делим на π, получаем ответ: 937,5.

Ответ. 937,5

<< | >>

↑

Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме Задание B9:

- Основы математики - Статистика - Теория вероятностей -