Задание В14

Задание B14 на нахождение с помощью производной точек экстремума функции или вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. Для успешного решения задачи ученик должен уметь вычислять производные элементарных функций и в простейших случаях исследовать функцию на монотонность.

Типичные ошибки.

1. Неумение находить производную сложной функции;

2. Неверное использование алгоритма нахождения точку максимума (минимума): путают с наибольшим (наименьшим) значением функции.

Рекомендации.

1. Повторите правила нахождения производных элементарных и сложных функций;

2. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

3. Прорешайте задания, помещенные в конце раздела.

Задача 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8].

Решение.

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах отрезка f(a) и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать наименьшее или наибольшее.

Найдем f '(x). Производная произведения равна

f '(x) = 0 при х = 7.

Ответ. -1 наименьшее значение функции на отрезке [6;8].

Задача 2. Найдите наименьшее значение функции

Решение. Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции на отрезке [a;b], надо найти значения этой функции на концах отрезка f(a) и f(b), значения функции в точках интервала от a до b где ее производная равна 0 или не существует и из всех этих значений выбрать наименьшее или наибольшее.

Найдем f '(x). Производная произведения равна

Ответ: наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 12.

Задача 3. Найдите точку максимума функции

Решение.

Найдем точки экстремума. Производная натурального логарифма равна

f '(x) = 0 при х = 10,8.

Корень соответствует условию

х + 11 ≥ 0 Это точка максимума.

Ответ. х = -10.8