Задание С4
В задании С4 предложена геометрическая задача из планиметрии. Уровень сложности – повышенный. В задаче необходимо рассмотреть все случаи геометрической конфигурации.
Критерии оценивания заданий с развернутым ответом С4
Содержание критерия | Баллы |
Обосновано получен верный ответ | 3 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Задача 1. Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины СD до прямой АВ рано m. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Площадь трапеции: SABCD = ½(a+b)·h, где a и b – основания трапеции, а h ее высота. С другой стороны SABCD = SАВК + SСВК + SАКD 1) Рассмотрим треугольник АВК SABK= ½ (KH⋅AB) = ½ l·m 2) Рассмотрим треугольник СВК SCBK = ½(KG⋅BC) = ¼ (h⋅BC), (GF – высота трапеции, GK=KF по теореме Фалеса, GK = KF = ½ h) 3) Рассмотрим треугольник АКD SAKD = ½ (KF⋅AD) = ¼ (h⋅AD) 4) SABCD = SАВК + SСВК + SАКD = = ½ l·m +½(½h⋅BC + ½(h⋅AD)= = ½ l·m +½·½h(ВС + АD) = ½ l·m + ½ SABCD SABCD = ½ l·m + ½ SABCD SABCD – ½ SABCD = ½ l·m ½ SABCD = ½ l·m SABCD = l·m Ответ. Sтрап = lm |
Задача 2. Дан угол ABC, равный 300. На его стороне BA взята точка D такая, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A и D.
Решение.
Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q – основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра.
Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка О не может лежать по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Е, так как расстояние от точки О до прямой ВС меньше, чем расстояние от нее до точки А
Из прямоугольного треугольника ВРЕ с катетом ВР = 2 и углом В = 30º находим, что
Так как OA=R и AP=1, получим:
и, следовательно,
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=600 находим:
Таким образом, получаем следующее уравнение для R:
Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.
Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.
Ответ. 1 или 7.
Задача 3.
С4006. В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит на прямой ВС так: что BD : DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. |
Решение:
Пусть AD = d, BD = х, DC = у. Подсчитывая разными способами периметры треугольников ADC и ABD, получаем:, .
Возможны два случая.
1. Точка D лежит на отрезке ВС. Тогда х = 1,5, y = 7,5. Значит,
2. Точка D лежит вне отрезка ВС. Тогда х = , . Значит, EF = 6.
Ответ: 4,5 или 6.
Задача 4.
С4007. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ: MN = 1:2. найдите ВС, если АВ = 12. Решение Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = v, NC = z. Так как , то точка М лежит между точками В и N. Возможны 2 случая. |
1. Точка Е – внутри параллелограмма. Треугольники ABN н DMC равнобедренные, х + у = 12 = у + z, следовательно, , откуда y = 8, z = x = 4, ВС = 2х+у = 16.
2. Точка Е – вне параллелограмма. Тогда x = z = 12, , откуда у = 24, BC=2x+y=48.
Ответ: 16 или 48.
Задача 5.
С4001. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ = а и CD = b .
Решение:
Возможны два случая (см. рис).
1 случай. Четырехугольник ABCD описан около окружности, следовательно: AD + ВС = АВ + CD = a + b . Четырехугольник ABCD вписан в окружность, значит, OBAD + OBCD = 1800. Но OMCD + OBCD = 1800, откуда OBAD = OMCD, следовательно, ∆ABM ~ ∆CDM с коэффициентом подобия .
Обозначим через Р периметр треугольника АВМ, тогда периметр треугольника CDM равен Р – AD – АВ – ВС + CD = Р – a – (a – b) + b = P – 2a. Поскольку Р : Р1 = а : b, далее получаем: , bP = aP – 2a2 . откуда Р = .
2 случай. Аналогично случаю 1 имеем: , , откуда . Ответ: или . |
Еще по теме Задание С4:
- ! Задание 3.1. Составьте схему, иллюстрирующую структуру социальной среды организации ! Задание 3.2. Составьте схему, иллюстрирующую соотношение понятий социальная среда и социальная сфера
- 9.3 Задания
- Задания и тесты:
- 13.3 Задания
- 10.3 Задания
- Ответы на практические задания тестовой части
- 8.3 Задания
- Задание B2
- 11.3 Задания
- 16.3 Задания
- Задание B9
- Задания и практическиеупражнения
- Задание B4
- Задания и практическиеупражнения
- ОТВЕТЫ Задание 1.
- Тестовые задания по разделу 1