<<
>>

Задание С4

В задании С4 предложена геометрическая задача из планиметрии. Уровень сложности – повышенный. В задаче необходимо рассмотреть все случаи геометрической конфигурации.

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом С4

Содержание критерия Баллы
Обосновано получен верный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 3

Задача 1. Боковая сторона АВ трапеции АВСD равна l, а расстояние от середины СD до прямой АВ рано m. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Площадь трапеции: SABCD = ½(a+b)·h,

где a и b – основания трапеции, а h ее высота.

С другой стороны SABCD = SАВК + SСВК + SАКD 1) Рассмотрим треугольник АВК

SABK= ½ (KH⋅AB) = ½ l·m

2) Рассмотрим треугольник СВК

SCBK = ½(KG⋅BC) = ¼ (h⋅BC), (GF – высота трапеции, GK=KF по теореме Фалеса, GK = KF = ½ h)

3) Рассмотрим треугольник АКD

SAKD = ½ (KF⋅AD) = ¼ (h⋅AD)

4) SABCD = SАВК + SСВК + SАКD =

= ½ l·m +½(½h⋅BC + ½(h⋅AD)=

= ½ l·m +½·½h(ВС + АD) = ½ l·m + ½ SABCD

SABCD = ½ l·m + ½ SABCD

SABCD – ½ SABCD = ½ l·m

½ SABCD = ½ l·m

SABCD = l·m

Ответ. Sтрап = lm

Задача 2. Дан угол ABC, равный 300. На его стороне BA взята точка D такая, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A и D.

Решение.

Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q – основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E – точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра.

Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка О не может лежать по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Е, так как расстояние от точки О до прямой ВС меньше, чем расстояние от нее до точки А

Из прямоугольного треугольника ВРЕ с катетом ВР = 2 и углом В = 30º находим, что

Так как OA=R и AP=1, получим:

и, следовательно,

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=600 находим:

Таким образом, получаем следующее уравнение для R:

Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.

Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.

Ответ. 1 или 7.

Задача 3.

С4006. В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 9, СА = 4. Точка D лежит на прямой ВС так: что BD : DC = 1:5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение:

Пусть AD = d, BD = х, DC = у. Подсчитывая разными способами периметры треугольников ADC и ABD, получаем:, .

Возможны два случая.

1. Точка D лежит на отрезке ВС. Тогда х = 1,5, y = 7,5. Значит,

2. Точка D лежит вне отрезка ВС. Тогда х = , . Значит, EF = 6.

Ответ: 4,5 или 6.

Задача 4.

С4007. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ЕВС точками М и N так, что ВМ: MN = 1:2. найдите ВС, если АВ = 12.

Решение

Пусть Е – точка пересечения биссектрис, ВМ = х, MN = v, NC = z. Так как , то точка М лежит между точками В и N. Возможны 2 случая.

1. Точка Е – внутри параллелограмма. Треугольники ABN н DMC равнобедренные, х + у = 12 = у + z, следовательно, , откуда y = 8, z = x = 4, ВС = 2х+у = 16.

2. Точка Е – вне параллелограмма. Тогда x = z = 12, , откуда у = 24, BC=2x+y=48.

Ответ: 16 или 48.

Задача 5.

С4001. Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если известно, что АВ = а и CD = b .

Решение:

Возможны два случая (см. рис).

1 случай. Четырехугольник ABCD описан около окружности, следовательно: AD + ВС = АВ + CD = a + b . Четырехугольник ABCD вписан в окружность, значит, OBAD + OBCD = 1800. Но OMCD + OBCD = 1800, откуда OBAD = OMCD, следовательно, ∆ABM ~ ∆CDM с коэффициентом подобия .

Обозначим через Р периметр треугольника АВМ, тогда периметр треугольника CDM равен Р – AD – АВ – ВС + CD = Р – a – (a – b) + b = P – 2a. Поскольку Р : Р1 = а : b, далее получаем: , bP = aP – 2a2 . откуда Р = .

2 случай. Аналогично случаю 1 имеем:

,

, откуда .

Ответ: или .

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме Задание С4:

  1. ! Задание 3.1. Составьте схему, иллюстрирующую структуру социальной среды организации ! Задание 3.2. Составьте схему, иллюстрирующую соотношение понятий социальная среда и социальная сфера
  2. 9.3 Задания
  3. Задания и тесты:
  4. 13.3 Задания
  5. 10.3 Задания
  6. Ответы на практические задания тестовой части
  7. 8.3 Задания
  8. Задание B2
  9. 11.3 Задания
  10. 16.3 Задания
  11. Задание B9
  12. Задания и практическиеупражнения
  13. Задание B4
  14. Задания и практическиеупражнения
  15. ОТВЕТЫ Задание 1.
  16. Тестовые задания по разделу 1