<<
>>

Задание 8

Начиная с задания В8, уровень сложности несколько повышается. От ученика, кроме знания основных формул и определений, требуется наличие определенного опыта. Для решения задач ученик должен уметь находить производные элементарных функций.

Также выпускник должен показать умение использовать физический и геометрический смысл производной, с помощью графиков функции или производной функции находить значение производной функции, промежутки возрастания (убывания) функции, количество точек экстремума и т.д.

Типичные ошибки.

1. Путают графики функции и ее производной;

2. Не видят разницы в нахождении точек максимума (минимума), наибольшего (наименьшего) значения функции;.

3. Выполняют задание относительно всего зарисованного графика без учета заданного промежутка, на котором требуется что-то найти.

Рекомендации.

1. Решите нижеперечисленные задачи:

а) на нахождение точек экстремума по графику производной;

в) на нахождение наибольших и наименьших значений на заданном промежутке по графику производной;

с) на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции);

d) на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной);

е) на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.

Задача 1. На параболе у = х2 — 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.

Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у = х2 – 2х – 8:

k = у' = (х2 – 2х – 8)' = 2х – 2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0:

у = -4х – 4, k = -4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е. 2х – 2 = -4;

х = -1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у = х2 — 2х — 8, т.е.

у(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 = -5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).

Задача 2. Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х? — 5х + 7.

Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Так как касательная параллельна заданной прямой, то их угловые коэффициенты равны (условие параллельности прямых). Угловой коэффициент данной прямой равен 4, значит

f '(xo) = k

f '(х? — 5х + 7) = 4

2х — 5 = 4

х = 4,5

Ответ. 4,5

Задача 3. Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции у = х? + х? + 2х + 8.

Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

f '(xo) = k

f '(х ? + х? + 2х + 8) = 3

3х? + 2х + 2 = 3

х1 = – 1; х2 = ⅓.

Из двух полученных корней необходимо выбрать один, так как точка касания единственная. Ее координаты должны удовлетворять и уравнению прямой, и уравнению заданной функции.

При подстановке полученной абсциссы -1 значения функций совпадают, при подстановке абсциссы ⅓ значения функций не совпадают.

Ответ. х = -1.

Аналогия графика функции и графика производной функции:

График функции График производной
1) убывает Меньше нуля (ниже оси ОХ)
2) возрастает Больше нуля (выше оси ОХ)
3) имеет эстремум (минимум или максимум) Производная равна нулю
4) имеет минимум (вогнутый) Возрастает
5) имеет максимума (выпуклый) Убывает

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме Задание 8:

  1. ! Задание 3.1. Составьте схему, иллюстрирующую структуру социальной среды организации ! Задание 3.2. Составьте схему, иллюстрирующую соотношение понятий социальная среда и социальная сфера
  2. 9.3 Задания
  3. Задания и тесты:
  4. 13.3 Задания
  5. 10.3 Задания
  6. Ответы на практические задания тестовой части
  7. 8.3 Задания
  8. Задание B2
  9. 11.3 Задания
  10. 16.3 Задания
  11. Задание B9
  12. Задания и практическиеупражнения
  13. Задание B4
  14. Задания и практическиеупражнения
  15. ОТВЕТЫ Задание 1.
  16. Тестовые задания по разделу 1
  17. Задание 1
  18. Пояснение к заданию № 2