Задание 8
Начиная с задания В8, уровень сложности несколько повышается. От ученика, кроме знания основных формул и определений, требуется наличие определенного опыта. Для решения задач ученик должен уметь находить производные элементарных функций.
Также выпускник должен показать умение использовать физический и геометрический смысл производной, с помощью графиков функции или производной функции находить значение производной функции, промежутки возрастания (убывания) функции, количество точек экстремума и т.д.Типичные ошибки.
1. Путают графики функции и ее производной;
2. Не видят разницы в нахождении точек максимума (минимума), наибольшего (наименьшего) значения функции;.
3. Выполняют задание относительно всего зарисованного графика без учета заданного промежутка, на котором требуется что-то найти.
Рекомендации.
1. Решите нижеперечисленные задачи:
а) на нахождение точек экстремума по графику производной;
в) на нахождение наибольших и наименьших значений на заданном промежутке по графику производной;
с) на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции);
d) на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной);
е) на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.
Задача 1. На параболе у = х2 — 2х – 8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х + у + 4 = 0.
Решение.
Определим угловой коэффициент касательной к параболе у = х2 – 2х – 8:
k = у' = (х2 – 2х – 8)' = 2х – 2.
Найдем угловой коэффициент прямой 4х + у + 4 = 0:
у = -4х – 4, k = -4.
Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е. 2х – 2 = -4;
х = -1 – абсцисса точки касания.
Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у = х2 — 2х — 8, т.е.
у(-1) = (-1)2 – 2(-1) – 8 = -5, М(-1;-5).
Ответ: М(-1;-5).
Задача 2. Прямая у = 4х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х? — 5х + 7.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Так как касательная параллельна заданной прямой, то их угловые коэффициенты равны (условие параллельности прямых). Угловой коэффициент данной прямой равен 4, значит
f '(xo) = k
f '(х? — 5х + 7) = 4
2х — 5 = 4
х = 4,5
Ответ. 4,5
Задача 3. Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции у = х? + х? + 2х + 8.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
f '(xo) = k
f '(х ? + х? + 2х + 8) = 3
3х? + 2х + 2 = 3
х1 = – 1; х2 = ⅓.
Из двух полученных корней необходимо выбрать один, так как точка касания единственная. Ее координаты должны удовлетворять и уравнению прямой, и уравнению заданной функции.
При подстановке полученной абсциссы -1 значения функций совпадают, при подстановке абсциссы ⅓ значения функций не совпадают.
Ответ. х = -1.
Аналогия графика функции и графика производной функции:
График функции | График производной |
1) убывает | Меньше нуля (ниже оси ОХ) |
2) возрастает | Больше нуля (выше оси ОХ) |
3) имеет эстремум (минимум или максимум) | Производная равна нулю |
4) имеет минимум (вогнутый) | Возрастает |
5) имеет максимума (выпуклый) | Убывает |
Еще по теме Задание 8:
- ! Задание 3.1. Составьте схему, иллюстрирующую структуру социальной среды организации ! Задание 3.2. Составьте схему, иллюстрирующую соотношение понятий социальная среда и социальная сфера
- 9.3 Задания
- Задания и тесты:
- 13.3 Задания
- 10.3 Задания
- Ответы на практические задания тестовой части
- 8.3 Задания
- Задание B2
- 11.3 Задания
- 16.3 Задания
- Задание B9
- Задания и практическиеупражнения
- Задание B4
- Задания и практическиеупражнения
- ОТВЕТЫ Задание 1.
- Тестовые задания по разделу 1
- Задание 1
- Пояснение к заданию № 2