<<
>>

4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь.

Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.

В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал s(t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ωв = 2πFв, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени [1]

Δt = π/ωв = 1/2Fв.

Известно, что при аналогово-цифровом преобразовании, чем меньше частота оцифровки (или больше период дискретизации) и грубее квантование сигнала, тем меньше данных необходимо для представления аналогового сигнала в цифровом виде. С другой стороны с уменьшением объема данных увеличивается вероятность потери информации содержащейся в сигнале.

Чтобы продемонстрировать искажение информации при неправильном выборе частоты дискретизации сигнала рассмотрим примеры.

Пример.

Гармонический сигнал имеет частоту f (период T = 1/f). Проведем дискретизацию сигнала с периодом дискретизации Tд меньшим половины периода входного сигнала T (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Дискретизация сигнала с периодом Тд < Т/2

Очевидно, что дискретные отсчеты сигнала однозначно не отображают форму исходного сигнала, в частности по получившимся точкам можно построить гармонический сигнал с периодом Tискаж., отличающимся от периода исходного сигнала T. Период Tискаж. больше периода исходного сигнала T, соответственно частота меньше, частоты исходного сигнала f (рис. 4.2).

Данный эффект называется стробоскопическим эффектом или алиасингом. Он заключается в появлении ложной низкочастотной составляющей при дискретизации сигнала с частотой меньшей удвоенной частоты исходного сигнала (или с периодом большим половины периода исходного сигнала), отсутствующей в исходном сигнале.

Рис. 4.2. Стробоскопический эффект дискретизации

При дискретизации с периодом равным половине исходного аналогового сигнала (fд = 2f) возникает неопределенность начальной фазы и амплитуды сигнала, т.е. возможно зеркальное искажение (противофаза), при этом частота исходного сигнала не искажается. В крайнем случае, мы можем получить отсчеты сигнала равные нулю (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Дискретизация сигнала с периодом Тд = Т/2

Если период дискретизации меньше половины периода исходного сигнала, то очевидно, что через получившиеся после оцифровки точки можно построить только один гармонический сигнал, соответствующий исходному, без искажения начальной фазы, амплитуды и частоты (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Дискретизация сигнала с периодом Тд < Т/2

Таким образом, для адекватного восстановления гармонического сигнала по дискретным отсчетам, период дискретизации должен быть не меньше половины периода сигнала.

Частота равная половине частоты дискретизации называется частотой Найквиста fN = fд/2.

Таким образом, аналоговый сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен однозначно и без искажений по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой большей удвоенной максимальной частоты его спектра Fд > 2·Fmax.

Данное утверждение известно как теорема Котельникова (в западной литературе теорема Найквиста-Шеннона) или теорема отсчетов.

Рис. 4.5. Временные диаграммы непрерывного сигнала s(t) и дискретизированного sд(t)

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s(t), достаточно передавать отсчёты s(kDt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

, (4.1)

где s(k∆t) – отсчёты;

(sin ωв(t - k∆t)) / ωв(t - k∆t) – функции отсчётов.

Ряд Котельникова – это разложение сигнала s(t) в ряд по ортогональным функциям φk(t).

(4.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью d-импульсов.

;

Рис. 4.6. Временная диаграмма одиночного d-импульса

Спектр одиночного d-импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

Рис. 4.7. Спектр одиночного δ-импульса

Чтобы получить отсчёты функции s(t) перемножим функцию s(t) на периодическую последовательность дельта-импульсов с периодом Т = Dt.

Рис. 4.8. Временная диаграмма периодической последовательности

δ-импульсов

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(4.3)

;

Т = Dt; ωд – частота дискретизации. Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид:

Рис. 4.9. Спектр периодической последовательности δ-импульсов

<< | >>
Источник: Павликов С. Н., Убанкин Е. И., Левашов Ю.А.. Общая теория связи. [Текст]: учеб. пособие для вузов – Владивосток: ВГУЭС,2016. – 288 с.. 2016

Еще по теме 4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова:

  1. 4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
  2. 4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
  3. 22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов
  4. 14.2. Модели непрерывных каналов
  5. 18.3. Потенциальная помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений
  6. 15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу
  7. Непрерывность настроения
  8. Деньги выполняют ряд функций.
  9. 2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
  10. Моменты количества: дискретное и непрерывное
  11. 15.6. Пропускная способность непрерывного канала
  12. 4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
  13. 3.1. Спектральное представление периодических сигналов
  14. 2.3. Геометрическое представление сигналов
  15. В итоге обозрения славянофильского учения о праве можно сформулировать ряд обобщений.
  16. 1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
  17. 2.2. Математическое представление сигналов
  18. Разложение многочленов на множители