РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1.

з

Ответ. р0 = 0,8 г/см .

Решение.

Так как плотность цилиндра линейно меняется с высотой, то средняя плотность цилиндра рср = (р0 + 2р0)/2 = 1,5p0. 3 балла

Введем обозначения: S - площадь сечения цилиндра, H- высота цилиндра.

Условие плавания цилиндра (mg = FA, FA - сила Архимеда):

PcpSHg = 1Fp1SHg + Fp2SHg. 3 балла

Таким образом,

P0 = Fpcp = 2FCFp1 + Fp2) = 2(p1 + 2p2)/9. 2 балла

O

p0 = 0,8 г/см . 2 балла

Задача 2.

Ответ. T2 = 27 c.

Решение.

Пусть теплоемкость проволоки равна C. Мощность источника постоянного напряжения идет на нагревание проволоки:

P = IU = U2/Ri = Q/Zi = CAtAi, (i = 1, 2). 2 балла

j

Таким образом, RiAi = U /(&At) = Const =^ T2 = (R2R1) T1. 2 балла

Сопротивление между двумя вершинами проволоки, спаянной в виде равностороннего треугольника,

R1 = (R/32R/3)/R = 2R/9. 2 балла

Сопротивление между двумя вершинами, не принадлежащими одной стороне проволоки, спаянной в виде равностороннего пятиугольника,

R2 = (2R/53R/5)/R = 6R/25. 2 балла

Таким образом, T2 = (R2ZR1) T1. = 27т1./25 = 27 c. 2 балла

Задача 3.

Ответ. Fmin = 25 Н, а = 30°.

Решение.

Введем обозначения: F - сила, с которой тянут веревку под углом а к горизонту, N - сила реакции со стороны поверхности, Fmp - сила трения скольжения. Так как тело движется равномерно, то сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю:

F cos а = Fmp, N + F sin а = mg, Fmp = kN. 3 балла

Решая систему данных уравнений, получим

F = kmg/(cos а + к sin a). 1 балл

Преобразуем знаменатель данной дроби:

cos а + к sin а = (к2 +1)½ ((к2+1)-½ cos а + к (к2+1)-½ sin а) = (к2 +1)½ cos(a-fi),

2 V 2 V

где cos в = (к2+1/ 2, sin в = к (к2+1/ 2; tg в = к. 2 балла

Сила F принимает минимальное значение при cos(a-в) = 1, таким образом

2 1Z

Fmin = к (к +1/ 2 mg = 25 Н, 2 балла

а = в = 30°, (tg а = tg в = к = 1/3½). 2 балла

Задача 4.

Ответ. T ~ 85900 с ~ 23,9 часа ~ 1 сутки.

Решение.

Введем обозначения: m - масса спутника, M - масса планеты, ю - угловая скорость движения спутника по орбите, T - период обращения планеты вокруг своей оси (равен периоду вращения спутника вокруг планеты). Уравнение движения спутника (ma = F):

тю2г

GmM/r2.

Так как

ю = 2nv то

T2 = 3n(r/R)3/(Gp),

T ~ 85900 с ~ 23,9 часа

Задача 5.

Ответ. T ~ 3,3 с.

Решение.

Введем обозначения: S - площадь сечения цилиндра, p - плотность цилиндра. Из условия плавания цилиндра (mg = FA, FA - сила Архимеда)

pSHg = p1SHg/4 + 3p2SHg/4. 1 балл

определим p = (p1+3p2)/4. 2 балла

Сместим цилиндр вертикально вверх на малое расстояние x (вдоль оси Ox). Уравнение движения цилиндра (max = FFx):

pSHax = P1Sxg - p2Sxg 3 балла

2

является уравнением малых колебаний ax + ю x = 0 с периодом колебаний

2n/T, M = 4npR3/3,

1 сутки.

3 балла

2 балла

3 балла 2 балла

T = 2п/ю T~ 3,3 с.

2n(PH/((p2-P 1)g)) 2 = n((P1 + 3P2)/(P2-P1) H/g))'

2 балла 2 балла

Задача 6.

Ответ. Tmax = 12poVo/R, Tmin = 4poVo/R, A = 2,5poVo.

Решение.

Изобразим цикл, совершаемый газом в осях (V, p). Из уравнения состояния идеального газа (pV = vRT) определим температуру газа в крайних точках линейных процессов:

Ti = p1V1/R = 4poVo/R,

T2 = p2V2/R = 12poVo/R,

T3 = p3V3/R = 4poVJR. 1 балл

Проведем семейство изотерм T = Const (pV = Const) через точки графика процесса. Нетрудно видеть, что

Tmax = T2 =12poVo/R, 2 балла

Tmin = T1 = T2 =4poVo/R, 2 балла

Работа газа на всём замкнутом цикле равна площади под графиком процесса A = A12 + A23 + A31. 1 балл

A12 = A (p1 + p2)(V2 - V1) = 1o,5poVo, 1 балл

A23 = A (p2 + p3)(V3 - V2) = -5poVo, 1 балл

A31 = A (p3 + p1)(V1 - V3) = -3poVo, 1 балл

Таким образом, A = 2,5poVo. 2 балла

Задача 7.

Ответ. t ~ 4,1 c; R = 1oo кОм, Imax = o,3 мА. Решение.

2

Начальная энергия конденсатора Wo = CU /2. 1 балл

При разрядке конденсатора в произвольный момент времени t в цепи течет ток I и напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе:

UC = UR = IR, 1 балл

энергия конденсатора в этот момент времени Wt = CUc/2 = CI2R2/2. 1 балл

Из закона сохранения энергии Wo = Wt + Q 1 балл

определим сопротивление резистора

R = (U2 - 2Q/C) A/I = 1 oo кОм. 1 балл

Максимальная сила тока будет протекать через резистор в начальный момент времени разрядки конденсатора

Imax = U/R = o,3 мА. 2 балла

Из зависимости тока разрядки от времени

I = Imax exp(-t/x), т = RC 2 балла

найдем момент времени, в который в цепи течет ток I t = RC In(ImaJI) ~ 4,1 c. 1 балл