2. Квадратичные и степенные уравнения и неравенства

Задача 3. Камень был подброшен вверх вертикально. Пока он не упал, высота, на которой находится камень, описывается формулой:

h(t) = -5t2 + 18t,

где h – высота в метрах, t – время в секундах, которое прошло с момента броска.

Решение. Очевидно, что камень может не долететь до отметки 9 метров, перелететь (и тогда отметку 9 метров он пролетит дважды – когда будет лететь вверх и когда вниз), либо один раз – если высота его полета составит ровно 9 метров. Составим и решим уравнение:

- 5? + 18t = 9

5? – 18t + 9 = 0

D = 324 – 180 = 144

t1 = 3 t2 = 0,6

Таким образом, отметку в 9 метров камень пролетает дважды: на 0,6 и 3 секундах. Отсюда следует, что на высоте более 9 метров камень находился 2,4 секунды:

3 – 0,6 = 2,4 (с.).

Ответ. 2,4.

Задача 4. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 140 – 10p.

Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 480 тыс. руб.

Решение. Подставим в значение выручки: r = q · p зависимость объёма спроса на продукцию q от её цены p: q = 140 – 10p. Получим зависимость выручки от цены: r = (140 – 10p)· p. По условию задачи выручка больше 480 тыс. руб.

(140 – 10p)· p ≥ 480

-10p? + 140p – 480 ≥ 0

p? – 14p + 48 ≤ 0

Корни соответствующего квадратного уравнения: 6 и 8.

Отрезок [6;8] удовлетворяет условию неравенства. А 8 – максимальная цена, при которой неравенство выполняется.

Ответ: 8.

Задача 5. № 27955. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t?, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным: t = 0,6 – 0,2 = 0,4 с.

Уровень воды поднимется на h2 – h1 метров: h2 – h1 = 5· 0,6? – 5 ? 0,4? = 1

Ответ: 1.

Задача 6. № 27958. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m – масса воды в килограммах, скорость движения ведeрка в м/с, L – длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение. Задача сводится к решению неравенства P ≥ 0.

При заданной длине верёвки L = 0,4 м:

Ответ: 2.

Задача 7. № 27960. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону

H(t) = at? + bt + H0, где H0 = 4 – начальный уровень воды,

а = м/мин2 и b = м/мин постоянные, t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение. Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени является

H(t) = 0,01t? – 0,4t + 4

Вода будет вытекать из бака, пока её начальный уровень не понизится до нуля. Определим требуемое на это время, решая уравнение H(t) = 0:

H(t) = 0

0,01t? – 0,4t + 4= 0

t? – 40t + 400 = 0

t = 20

Это означает, что по прошествии 20 минут вся вода вытечет из бака.

Ответ: 20.

Задача 8. № 27962. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением

T(t) = T0 + bt + at?,

где t – время в минутах, T0 = 1400 K, a = -10 K/мин?, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение. Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной 1760 К.

Задача сводится к решению уравнения T(t) = 1760 при заданных значениях параметров a и b:

1400 + 200t – t? = 1760

t?– 20t + 36 = 0

t1 = 2; t2 = 18

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и далее будет нагреваться, и может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Ответ: 2.