2. Прямоугольник

Задача 1. № 27551. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 Решение.

Площадь квадрата равна разности площади прямоугольника и четырех равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного квадрата. Поэтому

см2.

Ответ. 10.

Задача 2. № 27582. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение. Пусть сторона квадрата равна a. Тогда его диагональ равна , а площадь равна a?. Поэтому: , , см2. Ответ. 0,5.

Задача 3. № 27584. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

Решение.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: S = 4 ? 9 = 36.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна 36, равна 6.

Ответ. 6.

Задача 4. № 27605. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон: P = 2a + 2b = 28. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника: АВС и СDА.

По теореме Пифагора: a2 + b2 = 100.

Решая одновременно эти два уравнения, получаем:

a1 = 6, a2 = 8, b1 = 8, b2 = 6.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Поэтому S = ab = 48.

Ответ. 48.

Задача 5. № 27608. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов. Решение. Пусть а – сторона первого квадрата, в – сторона второго квадрата. По теореме Пифагорадля первого квадрата: а? + а? = 10?, Т.е. 2 а? = 100 и а? = 50. Аналогично для второго квадрата: в? = 18. То есть площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. Значит, квадрат искомой диагонали равен 64, а сама она равна 8. Ответ. 8.

Задача 6. № 27609. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Решение. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Пусть радиус окружности равен R. Тогда сторона вписанного в окружность квадрата равна , сторона описанного около окружности квадрата равна 2 R. Площади соответственно буду равны: S1 = 2 R?, S2 = 4 R?. Поэтому . Ответ. 2.

Задача 7. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Решение. Площадь квадрата равна Sкв = d? 2 где d – диагональ квадрата. Площадь закрашенной фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького. Ответ. 112 см?.