Критерии оценивания заданий с развернутым ответом.

Содержание критерия Баллы Обосновано получен верный ответ 3 Обосновано получен ответ, отличающийся от верного конечным количеством значений переменной, при которых определена левая часть исходного неравенства 2 Решение содержит верный переход от исходного неравенства к рациональным неравенствам или верно найдены все значения переменной, при которых определена левая часть исходного неравенства 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство logh(x)f(x) > logh(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, 0, x > -8, Û x ≤ -2, x ≥ 4, Û x Î (-8;-2]È[4;+¥). x > -8,

Ответ. x Î (-8;-2]È[4;+¥).

Задача 2. Решить неравенство:

Решение.

Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим:

Ответ.

Задача 3. Решить неравенство:

Решение.

Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Ответ. x Î (1; 2)

Задача 4. Решить неравенство:

Решение.

Используя утверждение 3, получим

Û		x Î (3;4),	Û x Î (3;4).
		x Î ?,

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

Ответ. Решений нет.

Неравенства вида F(logax) > 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Задача 5. Решить неравенства:

Решение.

a) Обозначив , получим квадратное неравенство t2 + t – 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

.

Используя метод интервалов, получим

Следовательно,

	lgx < -1,			0 < x < 1/10,
	2 < lgx < 3,	Û		100 < x < 1000,	Û x Î (0;1/10)È(100;1000)È(105;+¥).
	lgx > 5,			x > 105,

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Задача 6. Решить неравенства

Решение.

a) ОДЗ неравенства – множество (5; +¥). Используя свойство суммы логарифмов, получим неравенство

lg(x – 2)(x – 5) < lg4.

Используя утверждение 1, получим

	(x – 2)(x – 5) < 4,
	(x – 2)(x – 5) > 0.

Решаем систему

		x2 – 7x + 6 < 0,				1 < x < 6,
		x < 2,	Û			x < 2,	Û x Î (1;2)È(5;6)
		x > 5,				x > 5,

и, учитывая ОДЗ, получим x Î (5;6).

e) Определим ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

Используя свойство суммы логарифмов, получим

Обозначив log3x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

Ответ.

c) Определим ОДЗ неравенства

Поскольку ,

неравенство равносильно следующему:

откуда следует

Обозначив t ≥ 0, получим квадратное неравенство

(t – 1)2 > t + 11,

t2 – 3t – 10 > 0,

откуда t < -2 или t > 5.

Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или Û x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим x Î (5;+¥).

Ответ. x Î (5;+¥).

ОДЗ неравенства есть множество (1;2)È(2;+¥).

Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что

для любого x из ОДЗ, при x Î (1;2)È(2;3) и при x > 3,

значит,

получим x Î (1;2)È(3;+¥).

Ответ. x Î (1;2)È(3;+¥).

Задача 7. Решите неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Найдем, при каких x выражение обращается в 0.

Ответ: x = -1/3

Стандартный метод решения иррациональных неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т.д. Однако возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему.

Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство,

(-1)? < 3?

1< 9 − тоже верное неравенство.

Несмотря на то, что – 4 < –1 − неравенство верное, неравенство

(-4)? < (-1)?

16 < 1 уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

I. Неравенства вида √f (x) < g (x)

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Задача 8.

Решите неравенство

Решение.

Сразу перейдём к равносильной системе

Ответ. x Î (-2; 0)È(6;+¥).

II. Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (xÎ ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g(x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: f (x) > g? (x) Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически: f (x) > g? (x) ≥ 0, ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Задача 9. Решите неравенство

Решение.

ОДЗ неравенства: x ≥ –3.

Если х + 1 < 0, то х < -1; все эти х Î ОДЗ.

Таким образом, х Î [-3; -1) − первая часть ответа.

Если х + 1 ≥ 0, то х ≥ -1то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем:

Получаем, что решениями являются все х Î [-1; 1).

Объединяя результаты, получаем:

Ответ. х Î [-3; 1)

III. Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему:

Заметим, что из неравенства f (x) ≥ g (x) ≥ 0 следует, что g (x) ≥ 0 то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие.

Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде f (x) — g (x) ≤ 0. Следовательно, в ОДЗ

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности совпадает со знаком выражения .

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

в ОДЗ:

Задача 10. Решите неравенство

Решение.

ОДЗ данного неравенства:

Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует √2х и значит,

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни.

Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует.

Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства.

Таким образом, в ответ необходимо включить число x=5.

При x = 6 корень обращается в ноль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:

Учтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ.

Рассмотрим пример решения иррационального неравенства, содержащего модуль.

Задача 12. Решить неравенство:

Решение.

Рассмотрим на ОДЗ

получаем промежуток значений функции

Видно, что

Аналогично, рассмотрим функцию

т.е. функция может быть как больше, так и меньше нуля. Итак, раскрываем модуль в левой части со знаком минус

Вспоминаем формулу раскрытия модуля.

Рассмотрим правое неравенство.

Это неравенство вида решается с помощью системы

и опять используем тот же способ решения иррациональных неравенств

Учитывая область определения

Рассмотрим правую систему, полученную при раскрытии модуля

Итак, решение второго неравенства

Объединяем промежутки и получаем ответ.