«Актуальная бесконечность» канторовской теории

множеств потребовала непосредственного отождествления бесконечности и конечности, континуальности и дискретности в определении всеобщего «предмета» математической мысли (множества). Это требование означало, далее, необходимость коренного изменения методов дедукции (логики в узком смысле слова), необходимость привести дедукцию в соответствие с радикально «самозамыкающимся», самообосновывающим себя идеализованным предметом.

Чтобы последнее утверждение было ясным, немного о логических предпосылках такой постановки вопроса.

Исходные идеализации каждой особенной логической культуры — всегда формы введения бесконечности в определение конечного, особенного предмета. Логика Нового времени вводит в определение конечного предмета бесконечность (потенциальную) таким образом, что между предметом и его бесконечным «приближенным» измерением всегда остается щель, совпадение оказывается неполным; вычисление (измерение) никогда не может быть до конца тождественным определению. Именно поэтому логика «определения» и логика «вывода» могли существовать раздельно, квазисамостоятельно, и логический вывод никогда не замыкался на содержательное определение, а содержательная теория ничего не подозревала о своем логическом формализме. В таких условиях исходная идеализация (определение) оставалась по ту сторону собственного логического движения; этой идеализации не могло коснуться лезвие логического анализа (между определением идеализованного предмета и логикой дедукции вечно сохранялся зазор). Опасности самообоснования не могли стать реальными логическими проблемами. Исходные «аксиомы», не замыкаясь на себя, великолепно работали «от себя», в расчете тех или иных «физических процессов».

В теории множеств такого зазора уже не может быть, идея бесконечного приближения к дискретной величине уже не срабатывает. «Быка», то бишь дискретное, конечное, особенное, надо сразу же «брать за рога», то бишь за его бесконечное континуальное, всеобщее определение. В конкретной (относительно конкретной) математической теории обнаруживается симптом всеобщего логического кризиса. Идея предмета (линии, числа, «точки») как актуальной бесконечности требует постоянного целенаправленного внимания к проблеме самообоснования логических начал: ведь бесконечность анализа должна теперь изнутри войти в определение конечного предмета.

Характерное для «конструктивизма» понимание «бесконечности» не как наличного «предмета», но как метода (формы) построения (определения) конечных особенных предметов изменяет ситуацию еще радикальнее и требует еще более органичного и осознанного слияния — в единой, небывалой логике — теории вывода и теории определения. Между тем все наличные методы дедуктивного «вывода из...» или «приближения к...» органически не приспособлены к задачам самообоснования понятий.

В парадоксах теории множеств вылез наружу не математический (в узком смысле слова) кризис, но кризис оснований всей логики Нового времени, логики, чье содержание неявно всегда развивалось в русле математических идеализации. Перед нами — снова — категорический императив логики.

И может быть, наибольшая трудность (неразрешимость) теоретико­множественных парадоксов в том и состоит, что парадоксы эти пытаются решать как узкоматематические или (и) как формально-логические.

Это утверждение следует точно понять. Дело не в том, что «математическая форма» есть какая-то превращенная, неадекватная форма логической культуры мышления Нового времени. Ничего подобного. Форма математического размышления (движение и превращение математических идей) есть наиболее адекватная форма логического движения мысли в XVII — начале XX века. (Другой вопрос: всегда ли для мышления наиболее продуктивна его наиболее адекватная форма?) Но в XX веке возникает необходимость новой логической формы — формы возникновения новой логической культуры. Весь смысл парадоксов теории множеств состоит в этой потенции смены логической формы (и

коренного логического содержания) творческого движения мысли.

Парадоксы сигнализируют, что необходим переход от расщепленной формы логического движения (логика определения — логика доказательства) к логике самообоснования.

В логике самообоснования логики (понятия) математика действительно уже не может быть адекватной (всеобщей) формой движения мысли. В логике самообоснования наиболее адекватной является философская форма размышления (критика собственной логики). Вот в чем смысл сформулированного выше утверждения, что творческая сила парадоксов теории множеств обнаруживается в процессе «сдирания» с них узкоматематической формы. Такое «сдирание» — есть внутренний замысел этих парадоксов, есть пароксизм превращения философии в адекватную (и осознанную) форму логической культуры (XX века)1.

1 Осуществленный нами анализ в значительной мере основан на работе: А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств (М., 1966). В особенности см. стр. 12, 14—15, 24—25, 238—241. См. также Ст. Клини, Введение в метаматематику. М., 1957; X. Карри. Основания математической логики. М.,1969.

Конечно, в математике (или в физике) основной императив логики пока еще не сформулирован в адекватной — для логических потенции XX века — всеобщей форме, но он уже предстал в форме такой особенной теоретической проблемы, «решение» которой и состоит в обнаружении ее всеобщности. Непосредственно разговор шел о том виде, который эта проблема приобрела в математике, жаждущей стать философией. Тот же процесс происходит и в физике, но на этих страницах я не буду обсуждать еще и эту проблему.

Надеюсь, что теперь первоначальное наивное недоумение — «да разве позитивные науки так уж остро нуждаются в разрешении трудностей логического обоснования исходных начал теоретического движения, т. е. в разрешении трудностей введения в науку логики процессов изобретения новых идей?» — сменилось более серьезными и продуктивными размышлениями. И коренное из них — над проблемой самообоснования логики, самообоснования понятия.

Однако все сказанное выше — только начало, только введение в нашу проблему. Теперь мы и подходим к сюжетам нашей «настройки» (Вместо предисловия).

Понять (и развить) язык теоретического текста как язык самообоснования (самоотнесения понятий) означает понять (и развить) этот один язык как некое двуязычие, как

речь внутреннего (внутри единой теории) диалога.

Думаю, что необходимость такого вывода ясна. Необходим один язык, поскольку обращение к метаязыку запрещено во избежание регресса в дурную бесконечность. И одновременно такой язык должен быть для самого себя иным, вторым языком, способным служить формой самообоснования («самоотстранения») исходного теоретического текста.

И наконец, это должен быть язык (речь) внутреннего диалога, в котором осуществляется непрерывное взаимообращение текстов, их полифония, контрапункт, а не просто сосуществование.

Ничего себе, «условия задачи»... Да стоит ли при таких условиях вообще браться за нее? Не проще ли вернуться к старому доброму регрессу в дурную бесконечность превращения аксиом данной теории в теоремы теории более фундаментальной? К тому же, если вспомнить, что «регресс» этот был основой всего научного прогресса в XVIII — начале XX века...

Но... что же все-таки делать с парадоксами обоснования математики и вообще с теми логическими трудностями, о которых речь шла выше? Нет, очевидно, без парадоксальных «условий» не обойтись, а что касается «двуязычия» одной теории, то воспроизведем для бодрости ужо приведенные в нашей «настройке» слова В. Гейзенберга («...в порядке общего предположения можно сказать, что в истории человеческого мышления наиболее плодотворными... оказывались те направления, где сталкивались два различных способа мышления») и будем развивать свою проблему дальше.

Логический смысл сформулированного только что парадокса раскрывается в той предельной ситуации, когда речь идет о собственно логической теории (о науке логики), а не о какой-то позитивной, пусть самой общей, математической или физической теории.

Логическое обоснование логики (ее исходных положений, начал) требует, чтобы логик взглянул на свое мышление со стороны (а что тут «сторона»? Какое-то другое мышление, что ли, не мое?). Очевидно, здесь может быть лишь один рациональный выход: моя логика должна быть (но может ли?) освоена мной как диалогическое столкновение двух (минимум) радикально различных культур мышления, сопряженных в единой логике — логике спора (диалога) логик. Логик должен быть не тождественным своей логике, должен быть «над» ней, «больше» нее, вне ее. Утверждение, что в «логику» (в непосредственную логику мышления и в науку логики) необходимо включить критерий ее истинности, критерий ее (логики) самообоснования, неизбежно ведет к предположению, к предопределению какой-то «диалогики», какого-то радикального спора с самим собой, такого спора, когда каждое из моих «Я» (внутренних собеседников) обладает своей собственной логикой — не «худшей», не «лучшей», не более «истинной», чем логика «другого Я». Но вместе с тем здесь не требуется никакой «металогики» (которая стояла бы где-то над моим спором с самим собой). Не требуется, поскольку само бытие моей логики — в качестве диалогики — определяет ее постоянное развитие: в ответ на реплику внутреннего собеседника «Я» развиваю и коренным образом трансформирую, совершенствую «свою» аргументацию, но то же самое происходит с логикой моего «другого Я» (alter ego). Это постоянное развитие «постоянно» лишь до той точки, где происходит коренное преобразование всей «диалогики» в целом, где формируется новый диалог, новые «действующие лица» внутреннего спора.

Так примерно можно себе представить возможную жизнь диалогического разума. если продумать все последствия идеи самообоснования логической теории. Принять такое предположение как-то не очень хочется.

Ведь сразу же возникнут два принципиальных вопроса: 1) Что останется вообще от логики (той железной логики, которая «требует сделать вывод, что...»), если предположить некую полилогичность нашего мышления?

2) Зачем вообще нужна эта «диалогика», эта проверка «логики» «логикой» (и их взаимопревращение), когда существует иная, радикальная проверка: логика проверяется практикой, мышление — бытием? Не является ли это кружение белки мышления в колесе «диалогики» просто-напросто бегством от жизни, от практики, от старой мудрости Гёте — «теория друг мой сера, но вечно зелено дерево жизни...»?

Нет, принимать наше предположение явно не следует (риск большой, а толк неясон)... но и не принять как будто нельзя...1

4. Снова к проблеме самообоснования. Где остановились Гегель и Фейербах...

Что же делать?

Прежде чем ответить на этот вопрос (и на вопросы, поставленные выше), обратимся снова к некоторым размышлениям и трудностям Гегеля, что позволит еще более углубить и обострить проблему.

Само собой ясно, что именно для Гегеля обсуждаемая проблема должна была встать с особой остротой. В полном и окончательном своем развороте логика мышления должна была «съесть» в «Логике» Г егеля самое мышление.

1 Развитая в этой книге диалогическая схема творческого (теоретического) мышления только для остроты и отчетливости представлена в деятельности творческих гениев и в решающих «точках роста» современной науки. По сути своей эта схема самообоснования логики выражает, на наш взгляд, «тайну» творческого мышления, где бы и как бы оно ни происходило. Каждый человек, в той море, в какой он мыслит творчески, осуществляет свое мышление во внутреннем, мысленном диалоге с самим собой; и ятот мысленный диалог протекает как столкновение радикально различных логик мышления.

В самом деле, если на всех промежуточных станциях следования (развертывания абсолютной идеи) мысль оставалась мыслью, т. е. была мыслью о чем-то, имела предмет (этим предметом была сама мысль как объект самопознания), то в заключительной точке, когда мысль познала себя полностью, всеобщее (идея) уже не могло противопоставляться особенному (одному из моментов своего развертывания) как своему предмету.

Больше того, как раз в той точке, в которой определение субстанции окончательно должно было перейти в определение абсолютного субъекта (Духа), субъекта-то уже и быть не могло: исчезал объект мышления и деятельности, и «субъект» оказывался пустышкой, ему было нечего познавать и не на что действовать...

У мысли уже не было предмета (все было понято как мысль), но, значит, мысль теряла свой собственный статут. Отныне всеобщее (мысль в своем абсолютном логическом развитии) могло противопоставляться, чтобы оставаться мыслью, только иному всеобщему — не мысли, не логике, или, если переформулировать этот тезис, логика должна была противопоставляться иной логике, радикально иному пониманию того, что логично, что не логично, радикально иному типу понятия. Но в таком случае исчерпывается сама идея (далеко не только гегелевская) монологики. Рациональный смысл такого утверждения опять-таки может быть только один: мышление в полном своем развитии «натолкнулось» (что это означает?) на радикально иное бытие, которое требует иной логики, иного способа мышления, иной формы логического движения, иного субъекта логики!

Но тогда (пойдем еще дальше) необходимо принять такой ход мысли: в своем предельном развитии понятие не только реализует все свои возможности понимания (все стало понятным, все вошло в понятие); одновременно предельное развитие понятия означает предельное развертывание непонятности мира, его внепонятийности. Чем более я понимаю предмет, тем более в нем фокусируется непонятное, тем более я способен формулировать эту непонятность (проблемность) предмета (мира), тем более становится ясным, что «мне» необходима иная логика, необходимо превращение логик (но это означает, что я должен мыслить иначе, должен быть другим). Все выше сказанное требует предположить, что внеположность бытия мышлению должна войти в определение самого мышления (понятия), т. е. что материализм должен быть понят и развит как логика!

Но такие выводы означали бы снятие всей гегелевской логики в целом, означали бы преодоление идеализма как статута логики. Кто же в здравом уме и в трезвой памяти, да еще в сознании всемогущества своего мышления решается на самоубийство?!

Гегель не раз вплотную подходил к этой проблеме, проникал в самое ее ядро

и... в последний момент закрывался от проблемы тончайшими кружевами монологической диалектики.

Вот один из характернейших примеров. Второй том «Науки логики» — «Учение о понятии». Развивая диалектику всеобщего понятия, Гегель приходит к идее, что для определения всеобщего, для его обоснования необходимо как-то выйти за его пределы, за пределы понятия (?), необходимо определить всеобщее как особенное. Но в данном контексте быть особенным означает... быть иным всеобщим, всеобщим особенной логики и, следовательно, иметь «вне себя» какую-то иную, всеобще-особенную логику... Гегель понимает всю необходимость такого вывода.

Он пишет: «Особенное есть само всеобщее, но оно есть его различие или его соотношение с некоторым другим, его свечение вовне; но налицо нет никакого другого, от которого особенное было бы отлично, кроме самого всеобщего.— Всеобщее определяет себя; таким образом, оно само есть особенное; определенность есть его различие; оно отлично лишь от самого себя. Его виды суть поэтому лишь (а) само всеобщее и (Ь) особенное. Всеобщее как понятие есть оно же само и его противоположность (бытие, не мысль? —В. В.), которое опять-таки есть оно же само как его положенная определенность; оно охватывает собой последнюю и находится в ней у себя. Таким образом, оно есть тотальность и принцип своей разности, которая всецело определена лишь им самим. Нет поэтому никакого другого истинного деления, кроме того, при котором понятие отодвигает само себя в сторону, как непосредственную, неопределенную всеобщность; именно это неопределенное создает его определенность или, иначе говоря, создает то обстоятельство, что оно есть некоторое особенное. И то, и другое есть особенное, и потому они соподчинены... Если мы говорим здесь о двух противостоящих, то мы должны... также сказать, что... их определенность друг против друга есть по существу вместе с тем лишь одна определенность, та отрицательность, которая во всеобщем проста и едина (einfach ist)... Понятие есть абсолютная мощь именно потому, что оно может свободно отпускать имеющееся в нем различие, дозволять ему, чтобы оно приняло образ самостоятельной разности, внешней необходимости, случайности, произвола, мнения, в которых, однако, мы должны видеть не более, чем абстрактный аспект ничтожности» \

В этих размышлениях Гегеля, как во многих других таких же фрагментах, сосуществуют два возможных, но совершенно исключающих друг друга хода мысли.

Одна возможность. Всеобщее может определить себя как всеобщее только в противопоставлении самому себе как особенному, т. е. на основе признания, что в понятие необходимо включить идею бытия, не тождественного понятию, идею противоположности бытия и мышления (а не только гегелевскую идею тождества бытия и мышления, бытия и понятия).

1 Гегель. Соч., т. VI. М., 1939, стр. 38—39, 40.

В контексте логики это может означать только одно: когда мыслитель начинает спорить со своим собственным мышлением, с безоговорочным «логика требует...», тогда начинается спор бытия с бытием, практики с практикой и, соответственно, понятия с понятием, логики с логикой. Тогда начинается процесс формирования иной (еще не логичной, внерациональной, еще только имеющей быть) логики.

Определенное понятие данной логики (развитое, конкретное) наталкивается в своем полном развитии (в задаче самообоснования) на необходимость освоить иной тип бытия, еще не определенный и не определимый (логически), еще могущий быть определенным только абстрактно, бедно, «точечно» — не теорией (многообразием понятий), но одним понятием, понятием-потенцией...

Гегелевское погружение ножа логики в масло бытия дальше невозможно. Мысль наталкивается на нечто твердое, непроницаемое, на нечто внелогичное. Теперь логика или ломается, или перековывается в иное лезвие, в другой логический металл.

Гегель великолепно видел такую возможность, такой ход мысли. Бот место из «Феноменологии»: «Начало нового духа есть продукт далеко

простирающегося переворота многообразных форм образования, оно достигается чрезвычайно извилистым путем и ценой столь же многократного напряжения и усилия. Это начало есть целое, которое возвратилось в себя из временной последовательности, как и из своего пространственного протяжения, оно есть образовавшееся простое понятие этого целого... В то время как первое явление нового мира... есть лишь свернувшееся в свою простоту целое... для сознания, напротив того, еще не потеряно воспоминание о богатстве предшествующего наличного бытия. Во вновь появляющемся образовании оно не находит раскрытия и различения содержания; но еще в меньшей мере оно находит то развитие формы, благодаря которому с несомненностью определяются различия, и в их прочные отношения вносится порядок. Без этого развития наука лишена общепонятности и кажется находящейся в эзотерическом владении нескольких отдельных лиц... » 1

Здесь сформулирована необходимость превращения теорий (в конечном счете логики), необходимость выхода в диалогику, необходимость коренного преобразования наличного логического движения — в точке сжатия теоретической системы — в новое (бедное) простое понятие, в начало новой логики, новой теории. Но здесь же сформулирована и боязнь такого превращения понятий, такого изобретения нового предмета познания (и деятельности), грозящего полным обеднением науки, ее погружением в эзотеричность и неопределенность.

1 Гегель. Соч., т. IV. М., 1959, стр. 6—7.

Все начинать сначала... Снова — начало логики, снова — формирование логического из внелогического, формирование нового Разума из нового безумия... Очень рискованно. «Эта противоположность (развитости исторической культуры и абстрактности каждого

нового понятия.— В. Б.) и есть... самый главный узел, над развязыванием которого в настоящее время бьется научное образование и относительно которого оно еще не достигло надлежащего понимания» ^[1].

Но сам Гегель не стал развязывать этот узел. Он отшатнулся от неразличимости, неряшливости, неопределенности новых начал, отшатнулся от соблазнов безумия («не дай мне бог сойти с ума...», а будет ли еще новый Разум, неизвестно.,.).

И дело тут не в какой-то личной нерешительности Гегеля и даже не в (как бы это ни было важно) боязни признать материализм как логику! Дело в моментах глубоко объективных.

Хотя логически выводы о необходимости определить всеобщее (логику) в контексте диалогичности были неизбежны, реально — в развитии позитивно­научного, в частности естественнонаучного, знания — такая возможность и необходимость была еще крайне далека.

Возникало противоречие между отдаленной логической необходимостью выхода за пределы монологики и живой, острейшей исторической необходимостью развивать ту же логику — логику Нового времени, логику Галилея и Декарта.

Тем более, что, исходя из абстрактной необходимости коренного преобразования логик и их сопряжения в диалогической системе, никак нельзя было определить или хотя бы догадаться, как может преобразоваться наличная (к началу XIX века) логика, во что она перейдет, какое новое начало назревает... Что же, менять синицу в руках на журавля в небе?..

Но ситуация была еще напряженней. Тот тип содержательной логики, который установился в эпоху Галилея и Декарта, был непроницаем и для идеи «диалогики», и для идеи включения в понятие непонятного, внепонятийного, внелогического бытия предметов. Для логики Нового времени было характерно жесткое закрепление (принципиально) неподвижного субъекта мышления, всемогущего именно своей неизменностью и своим неизменным, все более и более глубоко идущим погружением в объект (бесконечно раскрывающим все новые и новые свои стороны, определения, связи). Субъект был радикально неизменен, фиксирован в точке действия вовне, хотя и приобретал все новые и новые орудия познания и деятельности. Соответственно, определения бытия вещей (скажем, определение «силы») постоянно отодвигались от субъекта и могли логически воспроизводиться только в форме антиномически расчлененных определений действия на другое (инобытия, бытия в другом). Исходная «неподатливость» бытия логике (определение возможности бытия) вообще выталкивалась из науки, из теоретического разума в «метафизику», в сферу запрещенных вопросов («Что есть сила?», «В чем причина тяготения?» и т. д.), в сферу «чистого» и «прикладного» практического разума. В такой ситуации помыслить о возможности полилогичности и диалогичности значило помыслить об абсолютном выходе из логики, о полном отречении от разума вообще.