III. Предлагаемый проект

Я не считаю любой проект, включая выдвинутый здесь, окончательным в том смысле, что он даёт определённую интерпретацию обычного употребления ‘истинный’ или определённое решение семантических парадоксов.

Следуя литературе, упомянутой выше, мы предполагаем исследовать языки, допускающие истинностно-значные провалы. Под влиянием Стросона^[65] мы можем считать предложение как попытку выразить высказывание, высказать пропозицию или нечто подобное. Осмысленность или правильное построение предложения основаны на том факте, что существуют специфицируемые обстоятельства, при которых оно предопределяет условия истинности (выражает пропозицию), а не то, что оно всегда выражает пропозицию. Предложение типа (1) всегда осмысленно, но при различных обстоятельствах оно может и не “выразить высказывание” или “высказать пропозицию”. (Я не стремлюсь здесь быть вполне философски точным.)

Для осуществления этих идей нам нужна семантическая схема для того, чтобы обращаться с предикатами, которые могут быть определены лишь частично. Зададим непустую область D, одноместный предикат Р(х) интерпретируется парой (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D. S₁ есть объём Р(х), а S₂ – его антиобъём. Р(х) должен быть истинным на объектах в S₁, ложным на объектах в S₂, неопределённым в противном случае. Обобщение для случая n-местных предикатов очевидно.

Одна из подходящих схем для обращения со связками – это сильная трёхзначная логика Клини. Предположим, что ~Р является истинным (ложным), если Р является ложным (истинным), и неопределённым, если Р не определено. Дизъюнкция является истинной, если истинен по крайней мере один дизъюнкт, вне зависимости от того, является ли другой дизъюнкт истинным, ложным или неопределённым^[66]. Она является ложной, если оба дизъюнкта ложны, и неопределённой в противном случае. Другие истинностные функции могут быть определены с точки зрения дизъюнкции и отрицания обычным способом. (В частности, тогда конъюнкция будет истинной, если оба конъюнкта истинны, ложной, если по крайней мере один конъюнкт ложен, и неопределённой в противном случае.) ($х)А(х) является истинным, если А(х) истинно при некотором заданном для х элементе из D, ложным, если А(х) ложно для всех значений х, и неопределенным в противном случае. (х)А(х) может быть определено как ~($х)~А(х). Оно, следовательно, является истинным, если А(х) истинно для всех значений х, ложным, если А(х) по крайней мере для одного такого значения, и неопределённым в противном случае. Для спокойствия вышеизложенное можно было бы преобразовать в более точное формальное определение, но это не будет нас беспокоить^[67].

Мы стремимся схватить интуицию примерно следующего рода. Предположим, мы объясняем слово ‘истинный’ тому, кто его ещё не понимает. Мы можем сказать, что нам дано право утверждать (или отрицать) любое предложение так, что оно является истинным точно при тех обстоятельствах, когда мы можем утверждать (или отрицать) само предложение. Тогда наш собеседник сможет понять, что значит, например, приписать истинность (6) (‘Снег бел’), но он всё ещё будет озадачен приписыванием истинности предложениям, содержащим само слово ‘истинный’. Поскольку он изначально не понимал этих предложений, то изначально было бы равносильно бессмыслице объяснять ему, что называть такие предложения “истинными” (“ложными”) было бы эквивалентно утверждению (отрицанию) самого этого предложения. Тем не менее в процессе размышления понятие истинности, даже применённое к различным предложениям, которые сами содержат слово ‘истинный’, может постепенно проясняться. Предположим, мы рассматриваем предложение

(7) Какое-то предложение, напечатанное в New York Daily News

7 октября 1971г., является истинным.

Однако наш субъект, если он хочет утверждать ‘Снег бел’, будет согласно правилам стремиться утверждать и ‘(6) является истинным’. Но предположим, что среди утверждений, напечатанных в New York Daily News 7 октября 1971г., имеется само выражение (6). Так как наш субъект хочет утверждать ‘(6) является истинным’, а также утверждать ‘(6) напечатано в New York Daily News 7 октября 1971г.’, он выведет (7) с помощью экзистенциального обобщения. Как только он захочет утверждать (7), он будет также хотеть утверждать (8). Таким образом, субъект в конечном счёте будет способен приписывать истинность всё большему и большему количеству высказываний, включающих само понятие истины. Нет причины предполагать, что все высказывания, включающие ‘истинный’, будут определены таким способом, но большинство будет. В действительности наше предположение состоит в том, что “обоснованные” предложения могут быть охарактеризованы как те, которые в конечном счёте в результате этого процесса получают истинностное значение.

Разумеется, типично необоснованное предложение типа (3) не будет получать истинностного значения в только что указанном процессе. В частности, оно никогда не будет названо “истинным”. Но субъект не может выразить этот факт, говоря “(3) не является истинным”. Такое утверждение непосредственно вступило бы в конфликт с условием собственного отрицания субъектом того, что предложение является истинным только при тех обстоятельствах, при которых он должен был бы отрицать само это предложение. Мы обдуманно навязали это условие (см. ниже).

Рассмотрим, каким образом этим идеям можно дать формальное выражение. Пусть L будет интерпретированным первопорядковым языком классического типа с конечным (или даже счётным) списком примитивных предикатов. Предполагается, что переменные пробегают некоторую непустую область D и что примитивные n-местные предикаты интерпретируются (полностью определёнными) n-местными отношениями в D. Интерпретация предикатов из L сохраняется фиксированной на всём протяжении последующего обсуждения. Предположим также, что язык L достаточно богат для того, чтобы синтаксис L (например, через арифметизацию) мог быть выражен в L и что некоторая кодировочная схема кодирует конечные последовательности элементов из D в элементы из D. Мы не пытаемся сделать эти идеи строгими; это можно было бы осуществить с помощью понятия “приемлемой” структуры Мочавакиса^[68]. Подчеркну, что большая часть того, что сделано ниже, проходит и при более слабых гипотезах относительно L^[69].

Предположим, что мы расширили L до языка ℒ добавлением одноместного предиката Т(х), чья интерпретация нуждается только в частичной определённости. Интерпретация Т(х) задана “частным множеством” (S₁, S₂), где, как было сказано выше, S₁ есть объём Т(х), S₂ – антиобъём Т(х), и Т(х) является неопределенным для сущностей, находящихся вне (S₁ È S₂). Пусть ℒ(S₁, S₂) есть интерпретация ℒ, получаемая интерпретацией Т(х) с помощью пары (S₁, S₂), интерпретация других предикатов из L остаётся той же, что и выше^[70]. Пусть S₁¢ будет множеством истинных предложений (кодами истинных предложений)^[71] ℒ(S₁, S₂) и пусть S₂¢ будет множеством элементов из D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒ(S₁, S₂), либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ(S₁, S₂). S₁¢ и S₂¢ определены единственно выбором (S₁, S₂). Ясно, что если Т(х) должно интерпретироваться как истина для каждого языка L, содержащего само Т(х), необходимо, чтобы S₁ = S₁¢ и S₂ = S₂¢. [Это означает, что если А есть любое предложение, то А выполняет (фальсифицирует) Т(х), если А является истинным (ложным) в соответствии с правилами оценки.]

Пара (S₁, S₂), удовлетворяющая этому условию, называется фиксированной точкой. При заданной выборке (S₁, S₂), интерпретирующей Т(х), множество f((S₁, S₂)) = (S₁¢, S₂¢). Тогда f является унарной функцией, определённой на всех парах (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D, а “фиксированные точки” (S₁, S₂) являются буквально фиксированными точками f; т.е. они суть такие пары (S₁, S₂), для которых f((S₁, S₂)) = (S₁, S₂). Если (S₁, S₂) является фиксированной точкой, то ℒ(S₁, S₂) мы также иногда называем фиксированной точкой. Наша основная цель – доказать существование фиксированных точек и исследовать их свойства.

Сконструируем первую фиксированную точку. При этом мы рассматриваем определённую “иерархию языков”. Мы начинаем, определяя интерпретированный язык ℒ₀ как ℒ(Ù,Ù), где Ù есть пустое множество; т.е. ℒ₀ есть язык, где Т(х) является полностью неопределённым. (Он никогда не является фиксированной точкой.) Предположим, что мы определили ℒ_a = ℒ(S₁, S₂) для любого целого числа a. Тогда множество ℒ_a+1 = ℒ(S₁¢, S₂¢), где, как и выше, S₁¢ является множеством истинных предложений (кодов истинных предложений) ℒ_a, а S₂¢ есть множество всех элементов D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒ_a, либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ_a.

Только что заданная иерархия языков аналогична иерархии Тарского при ортодоксальном подходе. Т(х) интерпретируется в ℒ_a+1 как предикат истинности для ℒ_a. Но при данном подходе возникает интересный феномен, данный в деталях ниже.

Будем говорить, что (S₁^†, S₂^†) расширяет (S₁, S₂) [символически (S₁^†, S₂^†) ? (S₁, S₂) или (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†)], если и только если S₁ I S₁^† и S₂ I S₂^†. Интуитивно это означает, что если Т(х) интерпретируется как (S₁^†, S₂^†), эта интерпретация согласуется с интерпретацией посредством (S₁, S₂) во всех случаях, где (S₁, S₂) определено. Единственное различие состоит в том, что интерпретация посредством (S₁^†, S₂^†) может привести к определению Т(х) для некоторых случаев, где он не был определён, когда интерпретировался посредством (S₁, S₂). Итак, основное свойство наших правил приписывания значения следующее: f является монотонной (сохраняющей порядок) операцией на £ ; т.е., если (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†), то f((S₁, S₂)) £ f((S₁^†, S₂^†)). Иными словами, если (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†), тогда любое предложение, которое является истинным (или ложным) в ℒ(S₁, S₂), сохраняет своё истинностное значение в ℒ (S₁^†, S₂^†). Это означает, что если интерпретация Т(х) расширяется приданием ему определённых истинностных значений для случаев, которые прежде были неопределенными, первоначально установленное истинностное значение не изменяется и не становится неопределённым; самое большее некоторое первоначально неопределённое истинностное значение становится определённым. Это свойство – выражаясь технически, свойство монотонности f – является решающим для всех наших построений.

Задав монотонность f, мы можем вывести, что для каждого a интерпретация Т(х) в ℒ_a+1 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_a. При a=1 этот факт очевиден; так как в ℒ₀ Т(х) является неопределённым для всех х, любая интерпретация Т(х) расширяет её автоматически. Если это утверждение имеет силу для ℒ_b, т.е. если интерпретация Т(х) в ℒ_b+1 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_b, тогда любое предложение, истинное или ложное в ℒ_b остаётся истинным или ложным в ℒ_b+1. Если мы посмотрим на определения, то они говорят нам, что интерпретация Т(х) в ℒ_b+2 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_b+1. Таким образом, по индукции мы доказываем, что интерпретация Т(х) в ℒ_a+1 всегда расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_a для любого конечного a. Из этого следует, что предикат Т(х) увеличивается как по своему объёму, так и по своему антиобъёму. По мере возрастания a всё больше и больше предложений приобретают явную истинность или ложность; но как только предложение объявляется истинным или ложным, оно сохраняет своё истинностное значение на всех более высоких уровнях.

До сих пор мы определяли в нашей иерархии только конечные уровни. Пусть (S_1,a, S_2,a) будет интерпретацией Т(х) ℒ_a для конечного a. Как S_1,a, так и S_2,a увеличиваются (как множества) при возрастании a. Тогда есть ясный способ определения первого “трансфинитного” уровня – назовём его “ℒ_w”. Для простоты определим ℒ_w = ℒ(S_1,w, S_2,w), где S_1,w есть единство всех S_1,a для конечного a, а S_2,w есть подобное единство S_2,a для конечного a. Тогда, задав ℒ_w, мы можем определить ℒ_w+1, ℒ_w+2, ℒ_w+3 и т.д. так же, как делали это для конечных уровней. Достигнув вновь “предельного” уровня, мы берём единство как и ранее.

Формально мы определяем языки ℒ_a для каждого ординала a. Если a есть последующий ординал (a = b+1), пусть ℒ_a = ℒ(S_1,a, S_2,a), где S_1,a есть множество предложений (кодов предложений) ℒ_b, а S_2,a есть множество, содержащее все элементы D, которые или являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ_b или не являются предложениями (кодами предложений) ℒ_b. Если l есть предельный ординал, то ℒ_l = ℒ(S_1,l, S_2,l), где S_1,l = ∪_b