§ 3. Характер соотношения дискретности и непрерывности времени и проблема естественных единиц измерения длительности

Вопрос о соотношении дискретности и непрерывности материи, пространства, времени и движения является одним из самых сложных вопросов философии и естествознания.

Уже в философских учениях древнегреческих философов мы находим высокоразвитую проблематику дискретного и бесконечно делимого.

В решение проблемы континуальности и дискретности строения и динамики материального мира внесли свой вклад многие выдающиеся философы и естествоиспытатели. Однако на каждом новом этапе развития науки эта проблема проявляет новые грани и неизменно сохраняет свою актуальность.

История проблемы дискретности и непрерывности в целом и отдельные наиболее важные этапы ее развития подробно освещены в ряде работ. Мы не будем останавливаться на истории становления и развития этой проблемы. Отметим только, что во всей догегелевской философии, как совершенно справедлив пишет М.Д. Ахундов, “независимо от того, признавалось ли пространство (и время) пустым или заполненным, рассматривалось оно в связи с движением или в отрыве от него, признавалась ли его природа объективной или субъективной, - в основном господствовал абстрактно-математический подход, заключавшийся в рассмотрении свойств пространства и времени, но не их структуры” /Ахундов, 1974, с. 93/.

М.Д. Ахундов полагает, что адекватное понимание структуры пространства и времени возможно только в том случае, если пространство и время рассматриваются в качестве внутренних элементов движения материи, которые изменяются вместе с изменением самого движения /Там же/.

В полной мере такой подход к анализу структуры пространства и времени может быть достигнут лишь в том случае, если последовательно придерживаться реляционной концепции пространства и времени, согласно которой пространство и время – это не самостоятельные сущности, а совокупности специфических, т.е. “пространственных” и “временных”, свойств, связей и отношений материальных объектов, процессов и событий материального мира.

Вполне естественно предположить, что “время”, как совокупность “временных” свойств, связей и отношений материальных объектов, процессов и событий, на разных иерархических уровнях организации материи должно обладать какими-то качественными особенностями.

Для того чтобы выяснить, насколько правомерно подобное предположение, нам необходимо проанализировать характер соотношения временных свойств материальных процессов на стыке двух смежных, качественно различных уровней их иерархической организации в таких материальных средах, в которых легко доступны для анализа как процессы обоих смежных уровней, так и механизмы интеграции процессов нижнего уровня в процессы иерархически более высокого уровня.

Именно такими средами являются жидкие и газообразные среды, в которых на макроуровне мы имеем гидро- и аэродинамические процессы, а на микроуровне – хаотическое (броуновское) движение частиц среды (атомов или молекул вещества).

Как известно, поведение жидкой и газообразной среды в гидро- и аэродинамике описывается дифференциальными уравнениями, в которых дифференциал рассматривается как “бесконечно малая” величина соответствующего параметра среды. В частности, дифференциалы пространственных координат характеризуют некоторый “бесконечно малый”, в пределе стягивающийся к “точке”, элементарный объем жидкой среды, через поведение которого описываются гидродинамические процессы. Но если по существу рассматривать реальный смысл дифференциальных уравнений гидродинамики, то мы должны будем отметить, что этот “бесконечно малый” объем жидкости не может быть сколь угодно малым. Так, он не может быть равен, например, объему отдельной молекулы, ибо гидродинамические уравнения не могут описывать хаотические тепловые движения отдельных молекул. Гидродинамическим законам макромира подчиняется движение не отдельных молекул, а усредненное движение их достаточно больших групп, которое возникает в результате большого числа соударений молекул друг с другом.

Аналогичным образом дифференциал ∂t “независимой переменной бытия”, т.е. “времени”, не может быть сколь угодно малым, поскольку для того, чтобы из хаотических движений отдельных молекул среды возникло усредненное движение его элементарных (т.е. ”бесконечно малых”) объемов, необходим хотя и весьма малый, но отнюдь не сколь угодно малый интервал времени. Действительно, если мы будем рассматривать жидкую среду на протяжении интервала длительности, меньшего, чем так называемое среднее время свободного пробега молекул жидкости (обозначим D t), то вместо жидкой среды, подчиняющейся законам гидродинамики, мы будем иметь среду, состоящую из хаотически летящих в разных направлениях молекул. Усредненное движение молекул среды - это их движение по траектории, которая возникает в результате достаточно большого количества соударений с другими молекулами. Общее направление траектории совпадает с направлением движения жидкости, но сама траектория представляет собой ломаную линию, отдельные сегменты которой, заключающиеся между двумя смежными соударениями с другими молекулами, могут иметь самые разные направления, включая и противоположные общему направлению траектории. В интервалах длительности, меньших, чем D t, траектории полетов всех молекул будут представлены не усредненными траекториями, а теми их сегментами, по которым в данный момент движутся молекулы среды.

Таким образом, гидродинамические процессы макромира существуют в жидкой среде в интервалах длительности, не меньших, чем некоторые интервалы времени (обозначим D T), необходимые для предельно малого, но достаточного для возникновения усредненных движений молекул количества их соударений. Для жидкой среды макромира “нулевым” интервалом длительности, на протяжении которого “ничего не происходит”, оказывается любой интервал, меньший, чем D T, начиная с которого возникают усредненные движения молекул и появляются гидродинамические процессы. Именно к этому предельно малому интервалу длительности как к “абсолютному нулю” стремится “бесконечно малая” величина дифференциала времени в дифференциальных уравнениях гидродинамики. Но вместе с тем он выступает в роли “абсолютного нуля” только при рассмотрении гидродинамических процессов макромира. Если же мы “спустимся” в микромир, то увидим, что этот “равный нулю” предельно малый интервал длительности макромира представляет собой весьма значительный, а для некоторых объектов и процессов микромира даже “бесконечно большой”, интервал длительности. Это обстоятельство свидетельствует о том, что на подобных стыках двух смежных уровней организации материальных процессов мы имеем не просто разные масштабы одного и того же физического времени, а различные формы физического времени соответствующих уровней организации материальных процессов.

Аналогичным образом можно было бы проанализировать соотношение временных свойств материальных процессов разных иерархических уровней организации и в других материальных средах макромира. Правда, в разных средах предельно малые интервалы длительности, на протяжении которых процессы иерархически более низких уровней организации материальных систем и процессов интегрируются в элементарные акты процессов более высокого уровня, могут очень сильно варьироваться. Поэтому физическое время макромира не имеет единого для всех материальных процессов нижнего предела.

Рассмотрим теперь соотношение временных характеристик процессов и событий макро- и мегамира.

Здесь важно иметь в виду, что мегамир по своим пространственно-временным масштабам отличается от привычного нам макромира примерно так же, как макромир отличается от микромира, если под микромиром понимать мир элементарных частиц. Мегамир - это не околоземной и даже не окологалактический космический мир, а тот мир, который описывается космологическими моделями и в научной литературе именуется "Вселенной в целом" или Метагалактикой. Некоторая, по всей видимости, весьма незначительная часть описываемой космологическими моделями "Вселенной в целом" доступна наблюдению при помощи современных астрономических инструментов. Эта область Метагалактики охватывает сферу радиусом в 12-15 млрд. световых лет.

Согласно современным представлениям, Метагалактика находится в состоянии расширения, начавшегося, примерно, 10-15 млрд. лет тому назад. В космологии, помимо всеобщего расширения Вселенной, исследуется множество других процессов, так или иначе влияющих на распределение в пространстве галактик и их скоплений и определяющих многие наблюдаемые свойства Метагалактики и заполняющего ее субстрата. Так, рассматриваются различного рода волновые процессы и вихревые движения в космологическом субстрате. При этом космологический субстрат математически описывается как некоторая непрерывная, своего рода "жидкая" среда, "атомами" или "молекулами" которой являются отдельные галактики и их скопления. Поскольку при этом предполагается, что время, в котором описываются процессы мегамира, - это то же самое, измеряемое при помощи "обычных часов" в общепринятых единицах время макромира, то у исследователей не возникает никакого вопроса о специфике временных свойств мегамира и, в частности, о существовании нижних временных границ описываемых в космологии процессов. Вместе с тем "бесконечно малые" элементы объемов и интервалов длительности дифференциальных уравнений космологических теорий не могут быть сколь угодно малыми. Как известно, галактики в метагалактическом пространстве распределены далеко не равномерно, а образуют различного вида скопления, средние размеры которых равны примерно 2-3 Мпс. Имеются основания считать, что однородность распределения материи во Вселенной достигается только в больших масштабах, порядка 1000 Мпс. Но даже если признать, что "бесконечно малый" элемент объема космологического субстрата в космологических теориях не может быть меньше средних размеров отдельных скоплений галактик, а под "элементарным событием" понимать элементарное изменение состояния "бесконечно малого" объема космологического субстрата, возникающее в результате какого-либо воздействия на него со стороны окружающей среды, то "бесконечно малый" интервал длительности "элементарного события" в мегамире (или, иначе, длительность "космологического мгновения") оказывается равным миллионам лет.

Действительно, для того чтобы произошло элементарное изменение состояния "бесконечно малого" объема космологического субстрата, необходимо, чтобы, во-первых, воздействие распространилось на весь этот объем и, во-вторых, все вызванные воздействием изменения интегрировались бы в единое целостное изменение всего “бесконечно малого” объема и проявились вовне в виде изменения его "состояния", т.е. в виде конкретных значений характеризующих его физических величин. Но если учесть, что средний диаметр скоплений галактик равен 2-3 Мпс, то для того, чтобы воздействие со скоростью света распространилось на весь "бесконечно малый" объем космологического субстрата, необходимо, примерно, 6-10 млн. лет. Таково "космологическое мгновение", т.е. тот предельно малый интервал длительности, к которому как к абсолютному нулю стремится "бесконечно малая" величина дифференциала времени в тех математических уравнениях, которые описывают поведение "Вселенной в целом" в космологических моделях, а также, по-видимому, в тех уравнениях, которые описывают такие космологические процессы, как протекающие в космологическом субстрате ударные и звуковые волны, вихревые движения и т.п. Правда, в случаях описания в дифференциальных уравнениях различного рода локальных космологических процессов, особенно легко дифференциалам приписать буквальный смысл стремящихся к абсолютному нулю "бесконечно малых" величин, которые могут быть меньше любого сколь угодно малого значения соответствующего физического параметра описываемых процессов и явлений, включая и такую переменную, как "время".

При этом ясно, что предельно малые объемы космологической среды и “бездлительные” “космологические мгновения”, к которым как к нулевым объемам пространства и интервалам длительности стремятся “бесконечно малые” величины (∂x, ∂y, ∂z) и ∂t, эквивалентны нулевым объемам и интервалам длительности только при описании процессов мегамира. Если же перейти к объектам, процессам и событиям окружающего нас макромира, эти нулевые объемы пространства и интервалы длительности мегамира могут оказаться эквивалентными бесконечным объемам пространства и бесконечным длительностям времени.

Обобщая изложенное, можно сделать вывод, что в микро-, макро- и мегамире существуют свои специфические формы физического времени. При этом, поскольку эквивалентные нулю "бесконечно малые" интервалы каждой из этих форм времени оказываются "бесконечно большими" по отношению к процессам и явлениям, протекающим во временных масштабах более "низкого", или более "фундаментального", уровня организации материального мира, мы можем утверждать, что эти формы времени не являются ни разными масштабами одного единого физического времени, ни разномасштабными продолжениями одна другой. Каждая из них представляет собой метризованную при помощи соответствующих классов соравномерных процессов равномерную длительность. То обстоятельство, что эти времена поддаются измерению при помощи одних и тех же единиц ("секунда", "год") физического времени макромира, обусловлено, на наш взгляд, тем, что классы соравномерных процессов микро-, макро- и мегамира состоят из механических (в микромире - квантово-механических) движений закрытых консервативных динамических систем, в которых действует закон сохранения энергии движения, или, иначе, механической энергии. В микро- и макромире реальное существование подобных классов материальных процессов установлено эмпирически. Что касается мегамира, то временные масштабы метагалактических процессов столь велики, что нет никакой возможности эмпирически выявить соответствующий класс соравномерных процессов и использовать его для измерения времени. Но нет никаких оснований и для того, чтобы отрицать существование в мегамире закрытых консервативных динамических систем, движения которых составляют материальную основу космологической формы физического времени.

Развиваемое нами представление о временной организации физического мира требует осторожного использования таких понятий, как "момент", "мгновение", "точка" на шкале временной оси, поскольку на разных уровнях эти понятия, сохраняя идентичный смысл, обретают совершенно разное содержание. В рамках же общепринятых представлений о времени как о чем-то едином, "сплошном", насквозь пронизывающем все иерархические уровни структурной организации материального мира, указанным выше понятиям соответствует временной интервал, по длительности сколь угодно близкий к абсолютному нулю. Подобное представление о смысле этих понятий нередко приводит к серьезным недоразумениям.

Так, например, при изложении содержания и выводов теории относительности понятие "событие" обычно определяется чисто формально, как “реальное или воображаемое происшествие, занимающее так мало места в пространстве и настолько короткое по длительности, что его можно считать занимающим всего лишь одну точку в пространстве и один момент во времени” / Мардер, 1977, с. 53/. При этом терминам "точка пространства" и "момент времени" обычно придается буквальный смысл, т.е. предполагается, что их значения близки к абсолютному нулю, и поэтому под "событием" можно понимать любое событие не только мегамира, но и макро- и даже микромира. Такое излишне буквальное понимание равенства нулю пространственных и временных характеристик "события" позволяет некоторым философам ставить под сомнение правомерность использования в физике понятия времени. Так, например, Н.Н. Трубников, ссылаясь на приведенное выше определение Л. Мардером понятия "событие", пишет: “Настоящее время, а через него прошедшее и будущее превращаются здесь в отвлеченную математическую величину, в точку, размеры которой неудержимо стремятся к нулю. И эта призрачная, стремящаяся к нулю точка уничтожает реальные размеры настоящего. И она тем ближе располагается к нулю (эта величина настоящего), чем отвлеченнее уровень наших абстракций времени, с одной стороны, и чем выше уровень наших инструментальных его измерений - с другой” /Трубников, 1987, с. 168/.

Подобная абстрактность физических теорий как раз и не позволяет придавать столь буквальное значение математическим понятиям и считать, что если некоторая величина стремится к нулю (или к бесконечности), то она действительно может сколь угодно мало отличаться от "абсолютного нуля" (или при стремлении к бесконечности становиться больше любой сколь угодно большой величины). В действительности понятие "точка" четырехмерного пространственно-временного континуума обретает разный смысл в зависимости от того, что мы рассматриваем в качестве "мира событий": "Вселенную в целом" или совокупность событий окружающего нас макромира, или, наконец, мир событий микромира.

Итак, мы пришли к выводу о том, что на каждом иерархическом уровне организации материи время, во-первых, дискретно, ибо существуют такие предельно малые, но отличные от нуля интервалы длительности, меньше которых интервалов длительности не бывает, и, во-вторых, непрерывно и бесконечно делимо, поскольку в интервалах длительности, меньших, чем предельно малые интервалы на данном уровне организации материи “ничего не происходит” и поэтому они эквивалентны математическим нулям, к которым стремятся “бесконечно малые” величины дифференциалов времени в дифференциальных уравнениях, описывающих материальные процессы данного уровня.

Рассмотрим теперь вопрос о “естественных единицах” длительности, который традиционно рассматривается в единстве с вопросом о “естественных единицах” пространственных расстояний.

Проблема естественных единиц пространства и времени имеет древнее происхождение и тесно связана с проблемой дискретности и непрерывности, поскольку обычно предполагается, что если пространство и время дискретны, то должны существовать такие предельно малые интервалы расстояний и длительности, которые могут служить естественными единицами их измерения.

Мы не будем подробно останавливаться на истории этой проблемы. Отметим только, что в средние века вопрос о естественных единицах пространства и времени интенсивно обсуждался философами Оксфордской школы натурфилософов, начиная с трудов францисканца Роберта Гроссетесте (ок. 1168-1253), которые пришли к выводу, что несоизмеримость диагонали и стороны квадрата свидетельствует против идеи квантованности пространства и поскольку континуум делим до бесконечности, то в континууме по самой его природе нет никакой первичной и единственной единицы, поэтому для измерения пространственных интервалов необходимо вводить условные единицы измерения /Уитроу, 1964, с. 219/.

А. Грюнбаум рассматривает позицию философов Оксфордской школы как позицию философских предшественников Б. Римана (1826-1866). При этом он считает, что если бы пространство и время были квантованны и “обладали внутренней мерой или “ внутренне присущей метрикой” , отношения конгруэнтности (равно как и неконгруэнтности) получались бы для непересекающихся пространственных интервалов” и отстоящих друг от друга во времени интервалов длительности “именно в силу присущей им метрики” /Грюнбаум, 1969, с. 20/. Но поскольку “интервалы математически непрерывного физического пространства и времени лишены внутренней метрики”, то “основа для измерения протяженности физического пространства или времени должна быть обеспечена с помощью сравнения интервала с телом или процессом, который сопоставляется с ними извне и является тем самым “ внешним” по отношению к интервалу” /Там же/. Самоконгруэнтность же перемещаемого в пространстве или во времени метрического стандарта, полагает А. Грюнбаум, устанавливается конвенцией. Таким образом, согласно А. Грюнбауму, в континуальном множестве “любой стандарт конгруэнтности является внешним, а самоконгруэнтность любого из них, как и всех их вместе, при перемещении является конвенциональной” /Там же, с. 22/.

А. Грюнбаум считает, что его понимание конгруэнтности представляет собой “более ясное изложение того, что было довольно туманно изложено Риманом” в его “ Инаугурационной лекции” относительно пространства и времени /Там же, 23/. Для того, чтобы выяснить, насколько это так, рассмотрим точку зрения Б. Римана более подробно.

Б. Риман рассматривает n-кратно протяженные многообразия, среди которых, как частный случай, присутствует трехмерное физическое пространство (“трижды протяженное многообразие”), и хотя Б. Риман не упоминает время, тем не менее все его рассуждения можно отнести и ко времени как к однократно протяженному многообразию. При этом из всех возможных n-кратно протяженных многообразий (или, говоря современным языком, n-мерных пространств) Б. Риман рассматривает такие многообразия, в которых линейный элемент ds выражается формулой ds = , и показывает, что этот линейный элемент характеризуется мерой кривизны пространства.

В этой весьма содержательной работе Б. Римана нас особо интересует заключительная часть, в которой он рассматривает приложение полученных им выводов к реальному физическому пространству и задается вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве при рассмотрении его в бесконечно малом. “Этот вопрос, - пишет Б. Риман, - конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним - силами связи, действующими на это реальное” /Риман, 1979, с. 32-33/.

Таким образом, если объективное физическое пространство (т.е. “то, что создает идею пространства”) есть непрерывное многообразие, то возникновение метрических отношений следует объяснять чем-то внешним, а именно - силами связи, действующими на это реальное многообразие. Поэтому решение этой проблемы, считает Риман, надо искать в физике, и, завершая свою работу, он пишет: “Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке - физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день” /Там же, с. 33/. Следовательно, даже в том случае, когда создающее идею пространства объективное пространство непрерывно, метрические отношения определяются внешними силами связи и установление метрики пространства оказывается не предметом конвенции, а проблемой физических исследований. Аналогичный вывод справедлив и по отношению ко времени. Причем сегодня мы можем сказать, что при решении вопроса о метрике времени (а также, видимо, и пространства) мы стоим не на пороге физики, а на пороге естествознания, поскольку этот вопрос по-разному решается, по крайней мере, в физике и биологии. Так, если в физическом мире эквивалентные бездлительным мгновениям “кванты” физического времени, представляя собой открытые интервалы, не имеют точных и однозначных для всего физического мира значений и не могут служить естественной единицей времени, то в живом организме “кванты” биологического времени не только могут служить естественными его единицами, но, по всей вероятности, и служат таковыми для генетического аппарата живого организма.

Полученный нами вывод о том, что время (и пространство) на каждом иерархическом уровне организации материи и дискретно и непрерывно позволяет по-новому подойти к некоторым дискуссионным проблемам пространства и времени.

Прежде всего остановимся на знаменитых апориях Зенона Элейского, в которых он демонстрирует противоречивость признания как непрерывности пространства, времени и движения (апории “Дихотомия” и “Ахилл и черепаха”), так и их дискретности (апории “Стрела” и “Стадий”).

Истинные причины неразрешимости апорий, на наш взгляд, заключаются в том, что в эпоху Зенона, да и много позже, не осознавалась иерархическая многоуровневость строения материального мира и протекающих в нем процессов, в силу чего время и пространство рассматривались как некие “сплошные”, уходящие неограниченно в микромир без каких-либо качественных изменений сущности, а проблема дискретности и непрерывности осознавались как проблема существования предельно малых (по абсолютной величине) интервалов расстояний и интервалов длительности. Соответственно предполагалось, что и пространственное перемещение тел может быть или непрерывным, или дискретным и, в случае непрерывности, это перемещение сохраняет свою природу на сколь угодно малых интервалах времени и расстояния. Если исходить из таких предположений, то апории Зенона оказываются неразрешимыми.

Для того, чтобы показать это, напомним кратко содержание наиболее известных четырех апорий Зенона, в которых он вскрывает противоречивость представлений как о непрерывности и бесконечной делимости (Дихотомия” и “Ахилл и черепаха”), так и о дискретности времени и пространства (“Стрела” и “Стадий”).

Апория "Дихотомия" обосновывает невозможность начала движения на том основании, что, прежде чем пройти весь путь, необходимо пройти его половину, но чтобы пройти половину пути, необходимо, в свою очередь, пройти ее половину, и так далее до бесконечности. При неограниченной делимости пространства и времени оказывается, что для прохождения любого сколь угодно малого расстояния необходимо пройти бесконечное множество вложенных друг в друга половинок пути. Иными словами, любые две сколь угодно близкие точки пути разделены непреодолимой пропастью бесконечности.

В апории "Ахилл и черепаха" доказывается, что самый быстрый бегун не сможет догнать черепаху, поскольку за время, пока Ахиллес пройдет расстояние, отделяющее его от черепахи, последняя успеет продвинуться еще на какое-то расстояние, и снова Ахиллу необходимо пройти путь, отделяющий его от черепахи, и так далее до бесконечности. Таким образом, здесь так же, как и в апории "Дихотомия", препятствием является непреодолимая пропасть бесконечности.

Если апории "Дихотомия" и "Ахилл и черепаха" доказывают невозможность движения в случае непрерывности и бесконечной делимости пространства и времени, то "Стрела" и "Стадий" показывают невозможность движения в случае дискретности времени и пространства.

В апории "Стрела" речь идет о том, что если пространство и время состоят из некоторых далее неделимых "точек" и "мгновений", то в каждой точке пространства (и в каждое мгновение времени) стрела покоится неподвижно. В таком случае движение стрелы складывается из последовательности неподвижных состояний. Но движение не может складываться из состояний покоя, следовательно, движение невозможно.

В апории "Стадий" рассматривается взаимное движение трех параллельных и равных друг другу отрезков прямых, один из которых покоится, а два других движутся вдоль покоящегося отрезка в разных направлениях. Поскольку в случае дискретности пространства и времени тело за неделимый далее интервал времени ("мгновение") может пройти только один неделимый интервал расстояния (в противном случае неделимое "мгновение" оказалось бы делимым), то движущиеся навстречу друг другу отрезки прямых за одно мгновение проходят один неделимый отрезок длины покоящегося отрезка и по два неделимых отрезка относительно друг друга. Отсюда следует, что движущееся тело за одно мгновение может проходить одновременно и один, и два неделимых интервала расстояния. Но это означает, согласно Зенону, что половина равна целому, а это невозможно, следовательно, невозможно и движение, приводящее к таким противоречивым результатам.

Апории "Дихотомия" и "Ахилл и черепаха" основаны, по сути дела, на неправомерном предположении, что процессы макромира можно рассматривать в сколь угодно малых интервалах длительности, тогда как на самом деле при неограниченном уменьшении интервалов времени мы оказываемся на качественно ином уровне организации материального мира, где вместо пространственного движения Ахилла и черепахи мы будем имеем биохимические, биофизические и физиологические процессы. Если еще дальше уменьшать интервалы длительности, то исчезнут биологические и останутся только квантово-механические процессы, протекающие на уровне молекул, атомов, их ядер и электронных оболочек.

Поэтому, рассматривая погоню Ахилла за черепахой, мы должны учитывать, что, во-первых, при неограниченном делении интервалов времени, к "бездлительному мгновению" мы приходим через конечное число шагов; во-вторых, "бездлительность" этого "мгновения" означает только то, что на более мелких интервалах длительности процессы макромира (в том числе, пространственные перемещения Ахилла и черепахи) “распадаются” на процессы и события более фундаментальных уровней организации материи и перестают существовать как целостные процессы; в-третьих, в этих предельно малых "квантах" времени перемещения Ахилла и черепахи будут также представлять собой далее неразложимые "кванты" перемещения, являющиеся одновременно их "мгновенными скоростями". Вполне естественно, что "кванты перемещения" (“мгновенные скорости”) Ахилла и черепахи таковы, что Ахилл несомненно перегонит черепаху.

Аналогичным образом в апории "Дихотомия" при неограниченном делении пути, которое необходимо пройти в самом начале движения, мы рано или поздно дойдем до такого предельно малого расстояния, которому соответствует "предельно малый", далее неделимый "квант" времени, после чего дальнейшее деление предстоящего пути теряет какой-либо рациональный смысл и превращается в чисто формальную математическую процедуру, не имеющую какого-либо физического содержания.

В апории “Стрела” противоречие возникает в силу того, что дискретность пространства и времени рассматривается как их абсолютное свойство, тогда как в данном случае “кванты” времени и предельно малые расстояния эквивалентны не абсолютному, а математическому нулю, к которому стремятся дифференциалы расстояния и времени в определении мгновенной скорости движения стрелы в макромире. Неделимость квантов времени и пространства при рассмотрении такого макропроцесса, как полет стрелы, означает только то, что при дальнейшем делении “квантов” времени и пространства мы покидаем процессы макромира и оказываемся среди процессов микромира. Таким образом, “кванты” времени и пространства макромира – это не статические, а динамические характеристики макропроцессов и, в частности, стрела не покоится ни в одной точке пространства, а движется с вполне определенной (“мгновенной”) скоростью.

Противоречие в апории “Стадий” возникает в силу того, что предельно малые интервалы длительности и пространственных расстояний макромира рассматриваются как обладающие фиксированными значениями далее неделимые “кванты”, тогда как в действительности их количественные величины различны для разных материальных процессов. В частности, при разных относительных скоростях движения тел в макромире одному и тому же предельно малому значению интервалов длительности соответствуют разные значения предельно малых интервалов расстояний. Поэтому “квант” расстояния, проходимый телом относительно неподвижного тела, будет иметь одну величину, а относительно движущегося навстречу – другую.

И, наконец, остановимся на вопросе пространственно-временной бесконечности материального мира.

С абсолютизацией непрерывности и бесконечной делимости времени связано существующее на всем протяжении истории философии парадоксальное представление о бездлительности временного бытия материального мира, вытекающее из следующих рассуждений: при непрерывности и бесконечной делимости времени любой интервал длительности, который мы именуем “настоящим временем”, можно разделить на более мелкие интервалы, из которых только один можно будет называть “настоящим временем”, тогда как все остальные будут либо в будущем, либо в прошлом, либо частью в прошлом, а частью в будущем. Продолжая таким образом до бесконечности “уточнять” непосредственно текущее настоящее время, мы будем вынуждены именовать настоящим временем “бездлительное мгновение”. В результате бытие существующего во времени чувственно воспринимаемого материального мира обретает иллюзорные черты, поскольку само время оказывается состоящим из несуществующих прошлого и будущего и бездлительного “мгновения” настоящего времени.

Такое представление не учитывает того, что на любом уровне организации материального мира имеются объекты, процессы и события, существующие в разных временных масштабах. Это обстоятельство требует иного подхода к определению “настоящего времени”, поскольку эквивалентные “бездлительным мгновениям” интервалы длительности, на протяжении которых “ничего не происходит”, оказываются разными, во-первых, для объектов разных уровней, а во-вторых, для одних и тех же объектов, но с позиции разных качественных характеристик этих объектов. В силу многоуровневости физического времени наше временное бытие в макромире протекает во вложенных друг в друга все более масштабных “бездлительных мгновениях” более высоких иерархических уровней организации материального мира. Если мы мысленно представим себе мироздание в целом, то можем сказать, что наше временное бытие протекает в лоне вечности, т.е. вечного бытия материального мира.

Вечность, таким образом, не является результатом неограниченного нагромождения миллионов и миллионов лет. Подобная “дурная бесконечность” не выводит нас за пределы макромира, поскольку единицы длительности иерархически более высоких уровней организации материи качественно иные, несоизмеримые с “годом”, как единицей длительности объектов, процессов и событий макромира.