Основные определения, теоремы и формулы планиметрии

Две прямые параллельны, если:

– внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;

– внешние накрест лежащие углы равны: < 1 = < 7;

– соответственные углы равны: b – c;

b < a + c, b > a – c;

c < a + b, c > a – b.

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a) две стороны и угол между ними;

b) два угла и прилегающая к ним сторона;

c) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанной окружности.

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, AE: CE = AB: BC.

Серединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три серединных перпендикуляра треугольника АВС (KO, MO, NO) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанной окружности (точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном – в середине гипотенузы.

Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.