Раздел ІV. Планиметрия

Планиметрические задачи в тесте ЕГЭ размещены в заданиях В3 и В6. При этом рассматриваются одни и те же фигуры: треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружность, круг и их элементы. Но в задании Вз требуется найти какой-либо элемент заданной фигуры, а задании В6 – ее площадь.

Типичные ошибки выпускников:

1. Неверно применяют формулы для вычисления тех или иных элементов плоских фигур, и их площадей;

1. Неверно записывают отношение сторон при определении тригонометрических функций;

2. Путают катеты и гипотенузу в прямоугольном треугольнике.

3. Не знают простейших формул вычисления площадей геометрических фигур;

4. Неправильно определяют цену деления клеток или координат.

Рекомендации.

1. Повторите основные соотношения в прямоугольном треугольнике;

2. Повторите формулы площадей геометрических фигур;

3. Рассмотрите решения типовых заданий, приведенных ниже;

4. Прорешайте нижеперечисленные задачи. 1. Треугольник

Задача 1. № 27543. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Поэтому см2. Ответ. 6.

Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь треугольника ABC складывается из площадей двух прямоугольных треугольников ADB и BDC. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Площадь прямоугольного треугольника ADB равна:

(2·7): 2 = 7

Площадь прямоугольного треугольника BDC равна:

(2·2): 2 = 2

Площадь треугольника ABC:

7 + 2 = 9

Ответ: 9 см ?.

Задача 3. № 27548. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см ? 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь треугольника равна разности площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому см2. Ответ: 10,5.

Задача 4. № 27549. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см2.

Ответ: 12.

Задача 5. № 27566. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).

Решение. Площадь треугольника равна разности площади прямоугольника и трех прямоугольных треугольников. Поэтому см2. Ответ. 25,5.

Задача 8. № 27588. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть неизвестный катет равен a. Тогда см2, откуда a = 8 см. Ответ. 8.

Задача 9. № 27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому см2. Ответ. 25.

Задача 10. № 27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

см2.

Ответ. 100.

Задача 11. № 27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому см2. Ответ. 24.

Задача 12. № 27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. см2. Ответ. 1.

Задача 13. № 27618. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение. Пусть x – меньший катет, тогда x + 2 – больший. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Ответ. 6.

Задача 14. № 27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание. Высота в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора высота будет определяться соотношением h2 = 25 − 9 = 16, откуда h = 4. Поэтому . Ответ. 12.

Задача 15. № 27621. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Решение. Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно, , где a – искомая боковая сторона треугольника. Поэтому a = 20. Ответ. 20.

Задача 16. № 27622. Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Решение. По формуле площади треугольника S = ½ ab sin α.

Поскольку угол острый, он равен α = 30º.

Ответ. 30.

Задача 17. № 27623. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение. . Ответ. 6.

Задача 18. № 27624. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: . Ответ. 6.

Задача 19. № 27704. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).

Решение.

Найдем стороны:

Полупериметр треугольника равен

Воспользуемся формулой Герона:

Ответ. 6.