I. Проблема

С тех пор как Пилат задал вопрос: “Что есть истина?” (Иоанн XVIII, 38), последующим поискам правильного ответа препятствовала другая проблема, которая, как хорошо известно, также возникает в контексте Нового Завета.

Пример с критянином иллюстрирует один способ достижения самореференции. Пусть P(x) и Q(x) будут предикатами предложений. Тогда эмпирическая очевидность устанавливает, что предложение ‘(x) (P(x) E Q(x))’ [или ‘($x) (P(x) Ù Q(x))’ и им подобные] в некоторых случаях само выполняет предикат P(x); иногда эмпирическая очевидность показывает, что оно единственный объект, выполняющий P(x). В этом последнем случае рассматриваемое предложение “о самом себе говорит”, что оно выполняет Q(x). Если Q(x) – предикат^[50] “быть ложным”, то в результате возникает парадокс Лжеца. Например, пусть P(x) – сокращение для предиката ‘последовательность знаков, напечатанных в экземплярах данного издания стр. 152, строчки 10-11’. Тогда предложение:

(x) (P(x) E Q(x))

ведёт к парадоксу, если Q(x) интерпретировать как предикат ложности.

На главный аспект проблемы указывает уже та версия парадокса Лжеца, которая использует эмпирические предикаты: многие, по всей вероятности большинство, из наших обычных утверждений об истинности и ложности склонны проявлять признаки парадоксальности, если эмпирические факты крайне неблагоприятны. Рассмотрим обычное высказывание, принадлежащее Джонсу:

(1) Большая часть (т.е. большинство) утверждений Никсона

об Уотергейте являются ложными.

Ясно, что (1) не содержит ничего внутренне ошибочного и не является неправильно построенным. В обычной ситуации истинностное значение предложения (1) устанавливается через перечисление утверждений Никсона, относящихся к Уотергейту, с оценкой каждого из них как истинного или ложного. Предположим, однако, что утверждения Никсона об Уотергейте равномерно распределяются на истинные и ложные, за исключением одного проблематического случая:

(2) Всё, что Джонс говорит об Уотергейте, является истинным.

Предположим, вдобавок, что (1) – единственное утверждение Джонса об Уотергейте, или, допуская альтернативу, что все его утверждения, относящиеся к Уотергейту, за исключением может быть утверждения (1) являются истинными. Тогда достаточно несложной проверки, чтобы показать, что и предложение (1), и предложение (2) являются парадоксальными: они – истинны, если и только если они – ложны.

Пример с предложением (1) преподаёт важный урок: продуктивным было бы поискать внутренний критерий, который позволил бы нам отсеивать – как бессмысленные или неправильно построенные – предложения, ведущие к парадоксам. Предложение (1) действительно является парадигмой обычного утверждения, затрагивающего понятие ложности; именно такие утверждения характерны для современных политических дебатов.

Выше я сконцентрировался на той версии парадокса, которая использует эмпирические свойства предложений, связанных, например, с тем, что они высказаны отдельными людьми. Гёдель, в сущности, показал, что такие эмпирические свойства необязательны, достаточно чисто синтаксических свойств: он продемонстрировал, что для каждого предиката Q(x) может быть подобран такой синтаксический предикат P(x), что предложение (x) (P(x) E Q(x)) с наглядностью является единственным объектом, выполняющим P(x). Он также показал, что элементарный синтаксис может быть интерпретирован в теории чисел. С помощью этого Гёдель отверг все сомнения относительно законности исследования самореферентных предложений, показав, что они законны в той же мере, в которой законна сама арифметика. Но примеры с использованием эмпирических предикатов сохраняют свою важность: они указывают на мораль о степени риска.

Более простая и более намеренная форма самореференции использует указательные местоимения или собственные имена: Пусть ‘Джек’ будет именем предложения ‘Джек – короткий’, и мы получаем предложение, которое о самом себе говорит, что оно – короткое. Я не могу увидеть ничего ошибочного в “намеренной” самореференции подобного типа. Если ‘Джек’ даже не является именем в языке^[53], почему мы не можем ввести его как имя той сущности, которая нам нравится? (Можно ли назвать эту последовательность знаков ‘Гарри’, а не ‘Джек’? В данном случае запрет на именование, конечно, имеет произвольный характер.) В нашей процедуре нет порочного круга, так как нам не нужно интерпретировать последовательность знаков ‘Джек – короткий’ до того, как мы их наименовали. Однако если мы дадим этой последовательности имя ‘Джек’, она тотчас же станет осмысленной и истинной. (Замечу, что я говорю о самореферентных предложениях, а не о самореферентных пропозициях^[54].)

В более пространной версии я предпочёл бы подстраховать вывод предшествующего параграфа не только с помощью более детальной философской экспозиции, но также с помощью математического доказательства того, что простая разновидность самореференции, проиллюстрированная примером с предложением ‘Джек – короткий’, на самом деле может быть использована для доказательства самой теоремы Гёделя о неполноте (а также теоремы Гёделя–Тарского о неопределимости истины). Подобный вариант доказательства теоремы Гёделя, возможно, был бы более понятным для начинающих, нежели обычный. Он также рассеивает впечатление, что Гёдель стремился заменить преднамеренную самореференцию более многословным приёмом. Этот аргумент должен быть опущен в данном очерке^[55].

Давно известно, что некоторые интуитивные затруднения, касающиеся предложений с парадоксом Лжеца, относятся и к предложениям, подобным

(3) (3) является истинным,

которые, хотя и не являются парадоксальными, не поддаются определению условий истинности. Более сложные примеры включают или пару предложений, каждое из которых говорит, что другое является истинным, или бесконечную последовательность предложений {P_i }, где P_i говорит, что P_{i + 1} является истинным. В общем случае, если предложение, подобное (1), утверждает, что (все, некоторые, большинство и т.д.) предложений определённого класса C являются истинными, его собственное истинностное значение может быть установлено, если установлены истинностные значения предложений, входящих в класс C. Если некоторые из этих предложений сами включают понятие истины, их истинностное значение, в свою очередь, должно устанавливаться при рассмотрении других предложений и т.д.. Когда, наконец, этот процесс заканчивается на предложениях, не упоминающих понятие истины, так, что может быть установлено истинностное значение первоначального предложения, мы называем последнее обоснованным; в противном случае – необоснованным^[56]. Как показывает пример с предложением (1), вопрос об обоснованности предложения не относится в общем случае к внутреннему (синтаксическому или семантическому) свойству предложения, но обычно зависит от эмпирических фактов. Мы высказываем некоторые утверждения, которые, как мы надеемся, превратятся в обоснованные. Предложения, подобные (3), хотя и не являются парадоксальными, необоснованны. Предыдущее – лишь приблизительный разговор об обычном понятии обоснованности и не означает того, что построено формальное определение: тот факт, что формальное определение может быть построено, будет принципиальным достоинством формальной теории, предлагаемой ниже^[57].