Раздел VIIІ. Теория чисел

Рассмотрим последнее задание, которое предстоит решить ученикам на ЕГЭ по математике. Данная задача является, пожалуй, самой сложной из всех предложенных в КИМах. Вы должны давать как можно более грамотный с математической точки зрения ответ.

Задача 1.

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа приписать справа через запятую десятичную запись числа , то получится десятичная запись числа, равного

Решение.

Пусть десятичная запись числа состоит из цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

, поэтому

Из этого уравнения следует, что .

Так как числа a и b взаимно простые, числа b – a? и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел. Тогда, если p – делитель a, то p – делитель b. Если же p – делитель b, то p – делитель a?, значит, p – делитель a. Противоречие.) Поэтому b – a? = 1 и, следовательно, . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:

1) , но в этом случае не выполняется равенство b – a? = 1.

2) . В этом случае равенство b – a? = 1 принимает вид

, откуда

Функция

возрастает, а функция

убывает. Поэтому уравнение f(n) = g(n) имеет не более одного корня, и так как f(1) = g(1), единственным корнем уравнения является n = 1.

Ответ. a = 2, b = 5.