Загальний розв’язок рівнянь ЗТВ для однорідного та ізотропного світу.

2.6.

2.7. Як вже зазначалося в п. 1.4 зараз є достатні спостережні підстави виходити при побудові космологічної моделі нашого Всесвіту з

довершеного космологічного принципу, тобто з припущення про його однорідність та ізотропність в просторі та однорідність в часі.

Однорідність в просторі означає, що можна обрати таку систему відліку часу, що просторова частина метрики буде однаковою в усьому просторі. Звідси випливає, що просторова частина тензору кривизни R_aes

повинна залежати тільки від самих просторових компонент метричного тензору, але не від їх похідних. А ізотропність простору та властивості симетрії тензору кривизни, сформульовані вище, однозначно приводять до такого її вигляду:

(2.34)

R

(2.35)

де X- певний скаляр розмірності оберненого квадрату довжини. Тепер не дуже складні підрахунки показуюють, що тензор Річчі

^Ra/3 = ^RY = ²^^ga/3,

а прсторова частина скалярної кривизни R = Ra=-6X. Таким чином ми приходимо до висновку, що простір однорідного та ізотропного світу повинен бути простором постійної кривизни, хоча і довільного знаку. Для запису метрики цього простору зручно скористуватися таким прйомом - розглянемо цей тривимірний простір як гіперповерхню в деякому уявному чотиривимірному просторі (який не треба плутати з чотиривимірним простором-часом). Нехай координати точки в цьому 4-просторі x_{ (i = 1,2,3,4). Тоді рівняння поверхні постійної кривизни є таке:

xf + x₂² + x₃² + x₄² = ka², (2.36)

де a - радіус кривизни, а множник k = sign(A) фіксує знак кривизни, він має

одне із значень: -1; 0; +1. Якщо k = +1, то (2.36) очевидне, як узагальнення рівняння сфери. При k = 0 маємо гіперплощину, як граничний випадок сфери при a ^ ю. При k = -1 одержуємо тривимірну псевдосферу з постійною від’ємною кривизною і уявним радіусом кривизни іа, бо а²=1/Х. Але елемент довжини на цій гіперповерхні в будь-якому випадку дорівнює

dl = dx_x + dx₂ + dx3 + dx_A. (2.3 7)

Виключаючи тепер dx₄ з (2.37) за допомогою диференціювання (2.36), одержимо, що

„2 ,2 і 2 і 2 (x,dx, + x₂dx₂ + x₃dx₃)² /0 2!04

dl = dx2 + dx2 + dx: + ——1—2 ^{2 3} У . (2.38)

^{1 2 3} ka¹ - x² - x₂² - x₃^{2 V 7}

Тепер можна записати величини g_ap і, підставляючи їх в (2.34),

пересвідчитися в тому, що стала A = k / a². Але в ізотропному просторі природньо перейти до сферичних координат r,p,0. Тоді матимемо, що

dr²

dl² =------------------------------------------------------------------------------------- + r² (sin² Gdp² + dO²).---------------------------------------- (2.39)

r

¹ -^k- a

Неважко переконатися, що в просторі з додатньою кривизною довжина кола 2nr, а площа сфери 4nr².

f , ^dr = a arcsin^r, (2.40)

^JW1 - r²/ a^{2 a}

тобто більша від r.

Повертаючись до метрики простору-часу, запишемо її тепер в такому вигляді:

dr²

-2^2_________

r^{2 1} -^k- a

ds² = c²dt²-------- — -r²(sin² Odp² + dO²). (2.41)

cdt = adn, - = 2 (x)

(2.42)

Бачимо, що ця метрика визначається одним параметром a, який в загальному випадку має назву масштабного фактору. Його зміна з часом, тобто залежнвсть a(t), і описує еволюцію метричних властивостей однорідного та ізотропного світу. Доцільно, як це нерідко робиться, перейти до безрозмірних змінних. В даному разі це зручно зробити за допомогою таких замін: де

sin x; k = +1

2 ⁽х⁾ = x; ^k = ⁰

shx; k = -1.

а нова змінна x має зміст безрозмірної відстані.

Тоді матимемо такий вираз для інтервала:

ds² = a²(n)^dn² -dx² -2 ²(x)(sin² Ѳdq?^ + dѲ²)J. (2.43)

Метрики (2.41) та (2.43) не є едино можливими. Інколи використовується така метрика:

ds2 = Cdt2 - dr/ + r/(sin² Ѳ dqJ + dqJ ')

і 2 , 2/_;„2^ і 2 , і 2 \

4a²

k_r ² 0

(1+-V)²

(2.44)

що одержується з (2.41) заміною

r

1+

r =

kr( 4a²

Оскільки чисельник в (2.44) в декартових координатах дорівнює dx₁² + dx₂² + dx₃² , то ця форма метрика наочно підкреслює однорідний та ізотопний характер її просторової частини.

(2.45)

Метрика однорідного та ізотропного світу (в будь-якій формі) дістала назву метрики Робертсона-Уокера, хоча фактично її одержав ще в 1922 р. О.О.Фрідман. Ми далі використаємо цю метрику в формі (2.43), тобто будемо користуватися координатами n, Х,Ѳ,ф. Запишемо відповідний ій метричний тензор:

^gik

Для того, щоб остаточно знайти метрику однородного та изотропного світу, треба тепер знайти масштабній фактор а як функцію змінної n, яку називають параметром еволюції або конформним часом. Для цього треба обчислити символи Кристофеля, а потім тензор Річчі з одного боку. З іншого боку потрібно встановити вигляд тензору енергії-імпульсу.

(2.46)

Якщо розглядаються явища достатньо великих розмірів, в яких вже не проявляється дискретність середовища, то, як відомо з СТВ, тензор енергії імпульсу такого середовища є (в змішаній формі):

T^t_k = ⁽P + s)CUk ^- pSk

де, нагадаємо, є - густина енергії, p - тиск, а U - 4-швидкість. В масштабах, більших від розміру комірок крупномасштабної структури

Всесвіту (> 10 Мпк) - там, де проявляється однорідність та ізотропність нашого Всесвіту, матерія повинна знаходитися в середньому в стані спокою. Бо будь-який рух є або наслідком певних неоднорідностей або приведе до них. Тому у вказаних масштабах 4-швидкість повинна мати вигляд: Uⁱ = (1,0,0,0). А в цьому разі з (2.46) одержимо, що

Ti =

(2.47)

Досить кропіткі, але в принципі не складні обчислення величин T^t_kl на підставі (2.18) та (2.45) дають такі результати:

Г00 = - ■ Гв = - 4 ga,; Г0в = -SJ; C = ra = 0, (2.48)

a a a

де a" - це похідна від a за конформним часом n. Обчислювати величини г°,

нема потреби, бо просторові компоненти тензора Річчі можуть бути знайдені з виразів (2.35) та (2.45). Обчислення тензора Річчі зручніше вести в змішаній формі. При цьому з рівняння Ейнштейна і діагональності тензорів g та T випливає і діагональній вигляд тензора кривизни. Його діагональні компоненти дорівнюють:

3 1

R₀⁰ = ——(a’² -aa");R⁰ = ---(2ka² + a'² + aa")5°⁰. (2.49)

a a

Тепер залишилося підставити (2.25), (2.47) та (2.49) в рівняння (2.29).

Часова компонента дасть рівняння

-^(^a'² -^aa")=^4П4 V^ss-+pl ⁽².⁵⁰⁾

a c V 3 J

Просторові компоненти дають однакові рівняння

Лх ~'2

Z-(2ka² + a'² + aa") = ^4nG (s- p). (2.51)

4^{V 7} 4

a c

Додаючи (2.51) до (2.50), виключаємо другу похідну a". Одержуємо рівняння

4(a'^J + ka^!) = П s, (2.52)

a 3c

Будь-яка пара рівнянь (2.50) - (2.52) містить три невідомі функції - а, є, та р. Ясно, що в ході еволюції Всесвіту із зміною масштабного фактора а будуть змінюватися середня густина енергії і тиск. При цьому характер цієї зміни повинен узгоджуватися із законами збереження. А самі ці закони збереження неявно містяться в рівняннях (2.50) - (2.52) в силу (2.26). Тому зв’язок між зміною масштабного фактора з одного боку і середньою густиною енргії та тиском з іншого можна знайти з циїх рівнянь. Але це можна зробити простіше, якщо скористуватися законом збереження енергії у вигляді першого начала термодинаміки:

dE=TdS-pdV, (2.53)

де E - повна енергія системи, T - її температура, S - ентропія, V - її об’єм. При постійній ентропії маємо, переходячи до густини енергії є = E / V, що

dV_

V'

йє є + p

(2.54)

Оскільки об’єм V s_cr, то кривизна додатня. І, як видно з

(7.60) , масштабний фактор є періодичною функцією параметру еволюції з періодом |3w+1|n/2. При цьому величина a змінюється від a₀ до да та навпаки при w-1/3 - від 0 до a₀ і навпаки. Якщо S=S_cr, то k _ 0 (плоский випадок), значення n змінюється від 0 до 2/|3w+1| (w-1/3). Масштабний фактор змінюється, відповідно, від a₀ до да або від 0 до да. При цьому похідна a' прямує до 0. Нарешті, при s