<<
>>

3.2. Спектральное представление непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов s(t), заданных на конечном интервале (t1, t2) (рис. 3.3), непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис.

3.3).

Рис. 3.3. Импульсный сигнал s(t) и его периодическое продолжение sпер(t+kT)

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе, при увеличении периода ∞ → Т все импульсы уйдут право и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами (преобразование Фурье):

. (3.3)

При таком предельном переходе основная частота сигнала Ω = 2π/T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник kΩ и (k + 1)Ω становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.

Функция G(jΩ) называется спектральной плотностью сигнала х(t).

Функции G(jΩ) и s(t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени.

Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье:

(3.4)

Таким образом, формулы (3.3) и (3.4) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье Они показывают взаимосвязь между сигналом s(t) и его комплексной спектральной плотностью G(jΩ).

Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью t на рис. 3.4 получим спектр S(jΩ) на рис. 3.5:

.

Это выражение с учетом формулы Эйлера можно переписать в виде

. (3.5)

Рис. 3.4. Одиночный прямоугольный Рис. 3.5. Спектр

импульс прямоугольного импульса

Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, приближённо, равна ΔFэ ≈2p/t.

<< | >>
Источник: Павликов С. Н., Убанкин Е. И., Левашов Ю.А.. Общая теория связи. [Текст]: учеб. пособие для вузов – Владивосток: ВГУЭС,2016. – 288 с.. 2016

Еще по теме 3.2. Спектральное представление непериодических сигналов:

  1. 3.1. Спектральное представление периодических сигналов
  2. 10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
  3. 10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно-манипулированных сигналов
  4. 2.2. Математическое представление сигналов
  5. 2.3. Геометрическое представление сигналов
  6. 2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
  7. 6. Комплексное представление сигналов и помех
  8. 4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
  9. 4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
  10. 3. Деятельность человека в условиях потока сигналов