<<
>>

3. Задачи на проценты, концентрацию, части и доли

В задачах на проценты необходимо показать умение находить процентное содержание компонентов в сплавах, смесях, рассчитывать сложные проценты, начисляемые несколько раз.

Сложные проценты.

Пусть некоторая величина А увеличивается в n раз и каждый раз на P%.

Тогда ее значение А1 после первого увеличения находится по формуле

……

(1)

Пусть некоторая величина А увеличивается nраз последовательно на .

Тогда ее окончательное значение:

(2)

Это формулы сложных процентов.

Пусть – начальное, а – конечное значение некоторой величины.

Тогда процентный прирост р% этой величины находится по формуле

(3)

Задача 12. Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма вклада удвоится?

Решение. Пусть x – искомое число лет,

А – первоначальная сумма,

2А – удвоенная сумма,

Тогда по формуле (1) получаем:

;

;

;

.

Ответ. Около 23 лет.

Задача 13. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение. Пусть x – искомое число. Тогда по формуле (2) имеем:

21,6 = 51,2 · (1 + х ) (1 – х )
100 100

;

;

;

x = 50.

Ответ. 50%.

Задача 14. Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S0 = 150 000руб. сроком на 4 года по ставке 18% в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение. S0 = 150000 рублей, р = 18, n = 4.

По формуле (1) имеем: ;

За 4 года вклад увеличится на 108 000 рублей = 258 000 руб. – 150 000 руб.

Коэффициент наращивания равен:

, т.е. первоначальный вклад увеличится в 1,72 раза.

Ответ. 1,72 раза.

Задача 15. Какую сумму положили в банк под 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S5 = 94500 рублей?

Решение. По условию р = 22, n = 5, S5 = 94500

;

;

;

рублей;

Ответ. Первоначальная сумма вклада была 34965 рублей.

Рассмотрим несколько задач из раздела «Сплавы, смеси».

Задача 16. Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

Решение. I способ:

30% 70%

20 кг = 6 кг + 14 кг

Cu Zn

Добавили цинка (+22 кг):

42кг = 6 кг + 36 кг

Cu Zn

100% = 40% + 60%

36кг составляет 60%.

36: 0,6 = 60кг – новый сплав.

60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)

Cu Zn

х = 18 (кг).

II способ (табличный):

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы(объема) и формулами расчета «Процент от числа».

Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи (в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте.

По вопросу задачи вводится переменная. Пусть x кг – масса меди.

Объекты I Добавили цинка Добавили меди Получили сплав
масса (кг) 20 22 x 20 + 22 + x
% меди 30 100
% цинка 100 60
масса меди (кг)
масса цинка (кг)

Теперь начинаем заполнение пустых клеток:

Объекты I Добавили цинка Добавили меди Получили сплав
масса (кг) 20 22 x 20 + 22 + x = 42 + x
% меди 30 0 100 100 – 60 = 40
% цинка 100 – 30 = 70 100 0 60
масса меди (кг)
20·30
100

0 x
(42 + х) · 40 = 20·30 + 0 + х
100 100

масса цинка (кг)
20·70
100

100 0

Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение.

Обратим внимание на «выделенную» клетку – эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по формуле «40% от числа 42 + x», а также по закону сохранения массы: (20·30)/100 + 0 + x.

Следовательно, имеем уравнение:

40 (42 + х) = 20·30 + 0 + х
100 100

4(42 + х) = 60 + 10х

6х = 108

х = 18

Ответ. 18.

Задача 17. Из 50т руды получают 20т металла, который содержит 12% примесей. Сколько процентов примесей содержит руда?

Решение. 1) Сколько примесей содержится в металле?

20·0,12 = 2,4(т)

2) 50т = 20т + 30т = (17,6 + 2,4) + 30 = 17,6 + (2,4 + 30)

металл примеси металл примеси чистый примеси

металл

составим пропорцию:

3) 50 т – 100%

32,4 т – x%

Составляем пропорцию:

50 = 100 Отсюда x = 64,8%
32,4 х

Табличный способ: По первому предложению составляем таблицу

Объект I II Смесь
m (кг) x 3 3 + x
% серебра p 100 90
mсеребра (кг)
x·p
100

3·100
100

(3 + х) ? 90 = x·p + 3·100
100 100 100

По второму предложению составляем таблицу

Объект I II Смесь
m (кг) x 2 2 + x
% серебра p 100 86
mсеребра (кг)
x·p
100

3·100
100

(2 + x)·86 = x·p + 2·100
100 100 100

В результате в «выделенных» клетках имеем уравнения для системы:

Тогда

Ответ: 0,5 кг; 30% серебра.

Задача 18. Сплав меди и цинка весом 60 кг содержит 40% меди. Сколько нужно добавить цинка, чтобы в сплаве его концентрация достигла 80%.

Решение.

Объект I II Получили
m (кг) 60 x 60 + x
% цинка 100 – 40 = 60 100 80
mцинка (кг)
60·60
100

x
(60 + x)·80 = 60·60 + х
100 100

Имеем: (60 + x)·0,8 = 36 + x

48 + 0,8x = 36 + x

x = 60 кг цинка нужно добавить.

Ответ. 60 килограммов.

Задача 19. К 15 литрам 10%-ого раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли.

(15 + х)л – столько стало нового раствора

(15 + х)· 0,08л – столько в нем содержится соли

В 15 литрах 10%-ного раствора содержится

15·0,1 = 1,5(л) соли

В х л 5%-ного раствора содержится 0,05 х л соли

х = 10. Добавили 10л 5%-ного раствора соли.

Табличный способ:

Объект I II Получили
m (л) 15 х 15 + х
% соли 10 5 8
mсоли (л)
15·10
100

х· 5
100

(15 + х)·8 = 15·10 +
100 100 100

Имеем:

8(15 + х) = 150 + 5х

3х = 30

х = 10

Ответ. 10 литров.

В некоторых случаях можно применить правило смешения растворов с заданными концентрациями (диагональную модель «конверта Пирсона», или, что то же самое, правило креста).

Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Обозначим: 1). Массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс.

2). Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – ω1, во втором – ω2, а в их смеси – ω3.

3). Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:

m1· ω1 + m2· ω 2 = ω 3(m1 + m2).

Отсюда m1(ω1 – ω 3) = m2(ω 3 – ω 2),

m1 = ω 3 – ω 2
m2 ω1 – ω 3

Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.

Задача 20. Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

Дано: m1 = 150 г, m2 = 250 г,

ω 1 = 30%, ω 2 = 10%.

Найти: ω 3.

Решение. 1-й способ (метод пропорций).

Общая масса раствора: m3 = m1 + m2 = 150 + 250 = 400 г.

Массу вещества в первом растворе находим методом пропорций, исходя из определения: процентная концентрация раствора показывает, сколько граммов растворенного вещества находится в 100 г раствора:

100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,

150 г 30%-го р-ра – х г в-ва,

х = 150 · 30 = 45 г.
100

Для второго раствора составляем аналогичную пропорцию:

100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,

250 г 10%-го р-ра – y г в-ва,

у = 250 · 10 = 25 г.
100

Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 + 25 = 70 г растворенного вещества.

Теперь можно определить концентрацию нового раствора:

400 г р-ра – 70 г в-ва,

100 г р-ра – z г в-ва,

z = 100 · 70 = 17,5 г.
400

2-й способ (алгебраический).

m1· ω 1 + m2· ω 2 = ω 3(m1 + m2).

Отсюда ω 3 = m1· ω 1 + m2· ω 2
m1 + m2
В результате находим: ω 3 = 150·30 + 250·10 = 17,5%.
150 + 250

3-й способ (правило креста).

ω 3 = ω 3 – 10 = 150
30 – ω 3 250

Тогда (30 – ω 3)·150 = (ω 3 – 10)·250,

4500 – 150 ω 3 = 250 ω 3 – 2500,

4500 – 2500 = 250 ω 3 – 150 ω 3,

7000 = 400 ω3,

ω 3 = 7000 = 17,5%.
400

Ответ. 17,5%.

Теперь решим задачи посложнее.

Задача 21. Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора соли и 30%-го раствора этой же соли для приготовления 500 г 20%-го раствора.

Дано: ω 1 = 10%, ω 2 = 30%, ω 3 = 20%,

m3 = 500 г.

Найти: m1, m2.

Решение. Используем правило креста.

Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно взять по 10 частей растворов исходных концентраций.

Проверим правильность нашего решения, учитывая, что 1 часть равна 500/(10 + 10) = 25 г.

250 г 10%-го р-ра – х г соли,

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

х = 250·10 = 25 г.
100

250 г 30%-го р-ра – y г соли,

100 г 30%-го р-ра – 30 г соли,

y = 250·30 = 75 г.
100

m(р-ра) = 250 + 250 = 500 г.

m(соли) = 25 + 75 = 100 г.

Отсюда находим ω 3: 500 г р-ра – 100 г соли,

100 г р-ра – ω 3 г соли,

ω 3 = 100·100 = 20г, или 20%
500

Ответ. m1 = 250 г, m2 = 250 г.

Задача 22. Определите, сколько нужно взять растворов соли 60%-й и 10%-й концентраций для приготовления 300 г раствора 25%-й концентрации.

Дано: ω 1 = 60%, ω 2 = 10%, ω 3 = 25%, ω 3 = 300 г.

Найти: m1, m2.

Решение.

Масса одной части: х = 300 = 6 г.
50

Тогда m1 = 6·15 = 90 г, m2 = 6·35 = 210 г.

Проверим правильность решения.

100 г 60%-го р-ра – 60 г соли,

90 г 60%-го р-ра – х г соли,

х = 54 г.

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

210 г 30%-го р-ра – y г соли,

y = 21 г.

m(соли) = 54 + 21 = 75 г.

Находим концентрацию нового раствора:

300 г р-ра – 75 г соли,

100 г р-ра – z г соли,

z = 100 · 75 = 25 г. или 25%
50

Ответ. m1 = 90 г, m2 = 210 г.

Задача 23

В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и, наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

Решение.

1) Пусть в 1 кг I р-ра – х кг соли

II р-ра – y кг соли

III р-ра – z кг соли

IV р-ра – t кг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6·0,15 = 0,9кг соли.

Но в 3-х кг I р-ра имеется (3х)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2y)кг и в одном кг III р-ра – z кг.

Отсюда получается первое уравнение 3x + 2y + z = 0,9

3) Рассуждая аналогично, получим, что

y + z + t = 0,72

x + z = 0,2

Т.е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2y + t.

Значит, если смешать 2 кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3 кг смеси будет 0,87 кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3 кг – 100%

0,87 кг – x%

3 = 100
0,87 х

x = 29%.

Ответ. 29%

Задача 24

Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r %-ный сплав серебра? При каких r задача имеет решение?

Решение.

В первом сплаве – 2,8 кг серебра. Пусть надо взять x (кг) второго сплава, чтобы сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (x+ 4) кг. Серебра в нем будет (2,8 + 0,9x) кг.

По условию

(x + 4) кг – 100%

2,8 + 0,9x – r%, откуда . Задача имеет решение тогда и только тогда, когда (только в таких пределах можно что-либо взять из куска весом в 3кг), т.е. , откуда .

Ответ. , задача имеет решение при .

В задачах на прогрессии необходимо грамотно использовать формулы n-го члена арифметической прогрессии, а также суммы n первых членов прогрессии.

Задача 25

Турист идет из одного города в другой, каждый день, проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Решение.

В первый день турист a1 = 10км, во второй – а2, …, в последний а6 км. Всего он прошел Sn = 120 км. Каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий, на d км,

Sn = 2 a1 + d(n – 1) ? n
2

n = 6 дней. Таким образом,

S6 = 2·10 + 3d ? 6
2

120 = (20 + 3d) ·3

d = 4

а3 = а1 + 2 d

а3 = 10 + 2·4 = 18 (км)

Ответ. 18

Задача 26

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Решение.

Пусть улитка проползла в первый день a1 метров, во второй – а2, …, в последний – аn м.. Тогда a1 + а2 = 10 м, а за n дней проползла:

Sn = a1 + а2 · n = 5n метров
2

Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: 5n = 150

n = 30

Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ. 30

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме 3. Задачи на проценты, концентрацию, части и доли:

  1. Основные задачи на проценты:
  2. 6.Используя формулу сложных процентов, определите сумму депозитного вклада в размере 100 млн. руб. через 2 года при полугодовом начислении процентов. Годовая ставка — 60%:
  3. Процент, норма процента
  4. Концентрация
  5. Вопрос 25. Каким образом осуществляется передача доли в складочном капитале полного товарищества?
  6. Тема: «Построение доверительного интервала для генеральной средней и доли»
  7. V Фазы концентрации: интеллектуальная, ' эмоциональная, духовная
  8. Концентрация власти
  9. Зачем нужно утверждать доли каждого собственника на общее имущество в доме?
  10. Обмен требований кредиторов на акции и доли участия
  11. Аритмогенные эффекты высокой концентрации ионов калия
  12. Эффекты, обусловленные нестабильностью состояния при быстрых изменениях концентрации калия
  13. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЗЕМЛИ И РАБОВ У КРУПНЫХ ВЛАДЕЛЬЦЕВ. МАССОВЫЕ НИЩЕТА И ГОЛОД НАСЕЛЕНИЯ
  14. 3. Ссудный процент
  15. 9.3. Ссудный процент
  16. 7.3. Теории процента
  17. Концентрация финансово-сбытовых потоков через собственную территориальную сеть
  18. Одна из причин деформации картины мира связана с излишней концентрацией внимания на результате