<<
>>

1. Задачи на движение

При решении задач на движение принимают такие допущения:

· движение считается равномерным, если нет специальных оговорок; изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

· если два тела начинают движение одновременно (если одно тело догоняет другое), то в случае, если они встречаются, каждое тело с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время;

· если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает время больше то, которое выходит раньше;

· все величины, как правило, положительные (в природе скорость расстояние и время положительны), поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок;

Скорость v Время t Расстояние s
1 объект
v = s
t

t = s
v

S = v ? t
2 объект

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

Задача 1. № 5643. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть скорость велосипедиста в первый день – x км/ч.

Составим таблицу для каждого дня с учетом всех условий задачи:

Скорость Время Расстояние
I день х 77 77
х
II день х + 4 77 + 4 77
(х + 4)

Приравняем время, потраченное на дорогу в первый и во второй день, так как он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В.

77(х + 4) = 77х + 4х(х + 4)

4х? + 16х – 308 = 0

77 = 77 + 4
х (х + 4)

Получили корни: -11 и 7. Корень -11 не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость велосипедиста равна 7 км/ч.

Ответ: 7 км/ч. Задачи на движение навстречу друг другу и движение вдогонку

В первой модели рассматривается совместная скорость сближения, как сумма двух скоростей и поэтому время сближения считается по формуле (1):

t = S
v1 + v2

Во второй модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1, догонит другой объект, идущий с меньшей скоростью v2, считается по формуле (2):

t = S
v1 — v2

где S – расстояние между объектами в начальный момент времени.

Задача 2. Из городов А и В, расстояние между которыми 480 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А где они встретятся.

Решение. Так как автомобили двигаются навстречу друг другу, время до встречи рассчитаем по первой формуле:

t = 480 = 4(км)
55 + 65

Расстояние от города А до места встречи равно S = 4 ? 55 = 220 км.

Ответ. 220 км.

Задача 3. Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Найдите время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.

Решение. Разность скоростей пешеходов (v1 – v2) задана условием задачи и равна 0,5 км/ч. Поэтому время (в часах), за которое расстояние между пешеходами будет равно 200 м, т.е. 0,2 км, рассчитаем по второй формуле:

t = 0,2 = 0,4(ч)
0,5

Переведем время из часов в минуты:

0,4ч. = 4 = 24 = 24 (мин.)
10 60

Значит, через 24 минуты расстояние между пешеходами будет равно 200 м.

Ответ. 24 минуты.

Движение по замкнутой трассе (например, по стадиону) похоже на движение вдогонку. Если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями, соответственно v1 и v2, то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью (v1 – v2) и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так же. Как и в случае прямолинейного движения вдогонку (т.е. по формуле (2)).

Задача 4. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение. Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут составляют 2/3 часа, тогда

t = S
v1 – v2
2 = 16
3 80 – x

2(80 — x) = 16 · 3

x = 56

Ответ. 56 км/ч.

В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной.

При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной скорости плывущего тела, так как скорость реки помогает двигаться телу.

При движении против течения от собственной скорости вычитается скорость реки (реально собственная скорость тела больше скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает движущемуся телу.

Скорость плота считается равной скорости реки.

Скорость перемещения тела v по воде, при скорости течения реки vр и собственной скорости движения vс, выражается:

v по течению = vс + vр при движении тела по течению реки.

v против течения = vс−vр при движении тела против течения реки.

Замечание 1.

Разность скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной скорости течения

v по течению − v против течения = 2Vр.

Замечание 2.

Формула нахождения собственной скорости тела.

v с = 0,5(2v по течению + v против течения)

Задача 5. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.

Решение. Заполним таблицу данными из условия задачи:

собственная скорость теплохода vс = 25км/ч,

скорость течения реки vр = 3 км/ч,

v по течению = vс + vр = 28 км/ч,

v против течения = v − vр = 22 км/ч.

Скорость v Время t Расстояние s
по течению v по течению = 28
t по течению = х
28

x
против течения v против течения = 22
t против течения = х
22

x

Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов, составим уравнение:

х = х + 5 = 30
28 22

Решая его, получим х = 308 км. Это путь туда и обратно. Следовательно, искомый путь вдвое короче, т.е. 616 километров.

Ответ. 616 км.

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо

· придорожного столба

· идущего параллельно путям пешехода

· лесополосы определенной длины

· другого двигающегося поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 6. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение. Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 21мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние:

S = v · t = 1000 · 21 = 500 (м).

Ответ. 500 метров.

Задача 7. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение. Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1 мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние S = v · t = 1500 · 1 = 1500 (м) плюс длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 2300 метра.

Ответ. 2300 метра.

Задача 8. № 99611. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение. Относительная скорость поездов равна:

(90 – 30) км = 60 км = 50 м
ч ч 3 с

За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние равное сумме их длин

50 · 60 с = 1000 м.
3

Значит, длина пассажирского поезда: (1000 – 600) = 400 м.

Ответ: 400.

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме 1. Задачи на движение:

  1. Задачи на нахождение средней скорости движения
  2. 4.1. Цели, задачи и принципы формирования отчета о движении денежных средств
  3. §1. Правовое положение, задачи, компетенция и организационное построение Государственной инспекции безопасности дорожного движения (ГИБДД)
  4. Время-движение или T-движение (движение во времени)
  5. Статья 12.30. Нарушение Правил дорожного движения пешеходом или иным участником дорожного движения, повлекшее создание помех в движении транспортных средств либо причинение легкого или средней тяжести вреда здоровью потерпевшего Комментарий к статье 12.30
  6. Статья 12.18. Непредоставление преимущества в движении пешеходам или иным участникам дорожного движения Комментарий к статье 12.18
  7. Движение Сопротивления. Партизанское движение в подполье и тылу врага.
  8. Статья 12.29. Нарушение Правил дорожного движения пешеходом или иным лицом, участвующим в процессе дорожного движения Комментарий к статье 12.29
  9. НАРОДНЫЕ ДВИЖЕНИЯ И РЕВОЛЮЦИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ B АРМИИ
  10. Пространство-движение или s-движение (движение в пространстве)
  11. Чекмарева А. В. Задачи подготовки гражданских дел к судебному разбирательству в свете информационного обеспечения участников процесса / А. В. Чекмарева // 19. ЗАДАЧА № 1