6. Тригонометрические уравнения и неравенства
Задача 15. B12 № 28014. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 5sin πt (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение. Задача сводится к решению неравенства v ≥ 2,5 cм/с при заданном законе изменения скорости: 5sin πt ≥ 2,5
sin πt ≥ | 1 | |||||||||||||||||
2 | ||||||||||||||||||
При 0 ≤ πt ≤ π: | π | ≤ πt ≤ | 5π | |||||||||||||||
6 | 6 | |||||||||||||||||
1 | ≤ t ≤ | 5 | ||||||||||||||||
6 | 6 | |||||||||||||||||
Таким образом, | 5 | – | 1 | = | 2 | = 0,666… | ||||||||||||
6 | 6 | 3 | ||||||||||||||||
первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.
Ответ: 0,67.
Задача 16. № 28013. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t) = 0,5 cos πt, где t – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле
Е = | mv2 | , |
2 |
где m – масса груза (в кг),
v – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 · 10-3Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение. Задача сводится к решению неравенства Е ≥ 5 · 10-3 Дж при заданных значении массы груза m = 0,08 кг и законе изменения скорости:
mv2 | ≥ 5 · 10-3 | |||||||||||
2 | ||||||||||||
0,08 · 0,25 cos? πt | ≥ 5 · 10-3 | |||||||||||
2 | ||||||||||||
Cos2 πt | ≥ | 1 | ||||||||||
2 | ||||||||||||
Cos πt | ≥ | √2 | Cos πt | ≥ – | √2 | |||||||
2 | 2 | |||||||||||
0 < πt < π
0 ≤ πt ≤ | π | 3π | ≤ πt ≤ | π | |
4 | 4 | ||||
0 ≤ t ≤ | 1 | 3 | ≤ t ≤ | 1 | |
4 | 4 |
Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 · 10-3 Дж. Это составляет 0,5 первой секунды.
Ответ: 0,5.
Задача 17. № 27998. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле
t = | 2v0sinα | . |
g |
При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью v0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение. Задача сводится к решению неравенства t(α) ≥ 3 на интервале (0°; 90°) при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:
2 · 30 · sin α | ≥ 3 | ||
10 | |||
Sin α | ≥ | 1 | |
2 |
0° < α < 90°
30° ≤ α < 90°
Ответ: 30.
Еще по теме 6. Тригонометрические уравнения и неравенства:
- 6. Тригонометрические уравнения
- Иррациональные уравнения и неравенства
- 2. Квадратичные и степенные уравнения и неравенства
- 4. Показательные уравнения и неравенства
- 5. Логарифмические уравнения и неравенства
- 1. Линейные уравнения и неравенства
- 3. Рациональные уравнения и неравенства
- Тригонометрические формулы
- 4. Показательные уравнения
- Решение простейших тригонометрических уравненийУравнения, содержащие косинус - cos x.
- 3. Иррациональные уравнения
- 5. Логарифмические уравнения
- 1. Линейные, квадратные, кубические уравнения
- 2. Рациональные уравнения
- 9. Вычисление значений тригонометрических выражений
- 10. Преобразования числовых тригонометрических выражений