<<
>>

6. Тригонометрические уравнения и неравенства

Задача 15. B12 № 28014. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 5sin πt (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение. Задача сводится к решению неравенства v ≥ 2,5 cм/с при заданном законе изменения скорости: 5sin πt ≥ 2,5

sin πt ≥ 1
2
При 0 ≤ πt ≤ π: π ≤ πt ≤
6 6
1 ≤ t ≤ 5
6 6
Таким образом, 5 1 = 2 = 0,666…
6 6 3

первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

Задача 16. № 28013. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v(t) = 0,5 cos πt, где t – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле

Е = mv2 ,
2

где m – масса груза (в кг),

v – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 · 10-3Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение. Задача сводится к решению неравенства Е ≥ 5 · 10-3 Дж при заданных значении массы груза m = 0,08 кг и законе изменения скорости:

mv2 ≥ 5 · 10-3
2
0,08 · 0,25 cos? πt ≥ 5 · 10-3
2
Cos2 πt 1
2
Cos πt √2 Cos πt ≥ – √2
2 2

0 < πt < π

0 ≤ πt ≤ π ≤ πt ≤ π
4 4
0 ≤ t ≤ 1 3 ≤ t ≤ 1
4 4

Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5 · 10-3 Дж. Это составляет 0,5 первой секунды.

Ответ: 0,5.

Задача 17. № 27998. Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли.

Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле

t = 2v0sinα .
g

При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью v0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Решение. Задача сводится к решению неравенства t(α) ≥ 3 на интервале (0°; 90°) при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

2 · 30 · sin α ≥ 3
10
Sin α 1
2

0° < α < 90°

30° ≤ α < 90°

Ответ: 30.

<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме 6. Тригонометрические уравнения и неравенства:

  1. 6. Тригонометрические уравнения
  2. Иррациональные уравнения и неравенства
  3. 2. Квадратичные и степенные уравнения и неравенства
  4. 4. Показательные уравнения и неравенства
  5. 5. Логарифмические уравнения и неравенства
  6. 1. Линейные уравнения и неравенства
  7. 3. Рациональные уравнения и неравенства
  8. Тригонометрические формулы
  9. 4. Показательные уравнения
  10. Решение простейших тригонометрических уравненийУравнения, содержащие косинус - cos x.
  11. 3. Иррациональные уравнения
  12. 5. Логарифмические уравнения
  13. 1. Линейные, квадратные, кубические уравнения
  14. 2. Рациональные уравнения
  15. 9. Вычисление значений тригонометрических выражений
  16. 10. Преобразования числовых тригонометрических выражений