<<
>>

Касательная

В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке.

Почему именно так? Угловой коэффициент прямой, в тех заданиях которые будут предложены на ЕГЭ по математике, будет равен всегда нулю (т.к. графики касательных будут параллельны оси ОХ)
Задача 8.

№ 7311. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = -9.

Решение.

Дан график функции. Точки экстремума (максимумы и минимумы) – точки, в которых касательная к графику функции, параллельна прямой у=-9.

Ответ. 9

Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо:

1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами:

Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой;

Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1

2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой.

3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.

Задача 9.

№ 8745. На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-4; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = -х+ 3 или совпадает с ней.

Решение.

Дан график производной функции. Прямая у=-х+3 имеет угловой коэффициент прямой, равный -1, значит проведем прямую у=-1. Посчитаем количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции (красные точки), значит ответ: 3

Ответ. 3


График функции Свойства График производной функции
1 2 3
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение. Производная функции положительна, когда функция возрастает. В данном случае функция возрастает на (-7; -5), (-4; 1), (3; 6,5) при х = -6; -3; -2; -1; 0; 4; 5; 6, т.е. в 8 целых точках. Ответ: 8.

Если производная функции положительна f '(x) > 0 на заданном интервале, то функция возрастает на этом интервале.

Если производная функции отрицательна f '(x) < 0 на заданном интервале, то функция убывает на этом интервале.

(и наоборот)

На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f (х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение. Функция возрастает, если ее производная положительна. В данном случае f '(x) > 0 при х = -6;

-2; -1; 0; 1; 2; 3. их сумма равна -6.

Ответ. -6.

1 2 3
На рисунке дан график функции

y = f(x), а также касательная к графику в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной данной функции в точке х = 3.

Решение: Для решения данной задачи необходимо вспомнить тот факт, что производная функции в точке равна тангенсу угла, образованному касательной и осью Ox. То есть, f'(xo) = tg a.

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке х0 — это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку х0 .

- если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, значит производная положительна;

- если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, значит производная отрицательна;

- если угол наклона касательной прямой, то тангенс не существует, значит производная не существует.

1 2 3

f '(xo) = tg ACD.

Рассмотрим треугольник ADC и найдем tg ACD. По определению, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. AD = 6, CD = 3. Отсюда очевидно, что

tg ACD = 6/3 = 2.

Следовательно, f '(xo) = 2.

Ответ. 2.

1 2 3
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] функция принимает наименьшее значение?

Решение. На отрезке [-8;-4] функция принимает наименьшее значение при х = -4.

Ответ: -4.

Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

Функция y = f(х), непрерывная на отрезке [a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него.

Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках: f '(x) = 0.

На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция, принимает наибольшее значение?

Решение. Функция принимает наибольшее значение при f '(x) = 0.

По графику у = f '(x), находим: на отрезке [-3; 2] производная равна нулю при х = -3.

Ответ. -3.

1 2 3
На рисунке изображен график функции у = f (x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f (x).

Решение.

Функция имеет экстремумы при х = 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11. Экстремумы соответственно равны: 2; 1; 3; -3; -1; -2; -1. Суммируя значения экстремумов, получаем:

2 + 1 + 3 – 3 – 1 – 2 – 1 = -1.

Ответ. -1.

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(xо)

(f(x) ? f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(xо) = 0, либо f ¢(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена.

Первое достаточное условие. Пусть xо – критическая точка. Если f (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На рисунке изображен график производной функции у = f '(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(х) на отрезке [-6; 9].

Решение.

На отрезке [-6; 9] производная функции имеет критическую точку в х = 7, производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, является единственной точкой максимума.

Ответ. 1.


<< | >>
Источник: Грекова И.Ю.. МАТЕМАТИКА [Текст] : учебное пособие для слушателей подготовительных курсов ВГУЭС. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС,2011. – 232 с.. 2011

Еще по теме Касательная:

  1. Касательно правовой природы акционерного соглашения
  2. Глава 21 (XXXVIII) Общие замечания касательно упадка римского владычества на Западе
  3. Производная
  4. Задачи для самостоятельного решения Задание В8
  5. Основные формулы многоугольников
  6. Задание 8
  7. Третейский информационный суд
  8. 1.6.4. Обозначения при расчёте валов
  9. 9. УТОЧНЕННЫЙ РАСЧЕТ ВАЛОВ
  10. Статья 19.4.1. Воспрепятствование законной деятельности должностного лица органа государственного контроля (надзора), органа муниципального контроля Комментарий к статье 19.4.1
  11. Понятие публичного интереса и его содержание
  12. Временный перевод спортсмена к другому работодателю
  13. Понятие, сущность, виды судебных постановлений
  14. Банковские риски: общая характеристика