Виды количества: множество, величина, число, степень и т. д.
В самом деле, мы можем наблюдать, с одной стороны, реальные совокупности, множества разрозненных тел (например, груду камней, множество деревьев, звезд на небе, толпу людей), а, с другой, реальные величины отдельных тел, представляющие собой некоторую нераздельную (непрерывную) количественную определенность (величину отдельного камня, размеры отдельного дерева, степень яркости отдельной звезды, рост отдельного человека).
Между этими крайними видами количества (множеством и величиной) — целый спектр промежуточных, переходных видов.Различие между указанными видами количества — не выдумка людей, не плод абстрагирующей способности их мышления. Эти виды на самом деле существуют как реальные виды количества. Когда мы режем батон хлеба на отдельные куски, то осуществляем совершенно реальную операцию, преобразующую непрерывное количество целого батона в дискретное множество от - дельных кусков хлеба. Когда мы с помощью горячего прессования превращаем металлический порошок в сплошной металл, то осуществляем операцию преобразования дискретного количества, множества металлических частичек в непрерывное количество цельного металлического изделия. Чтобы преобразовать реальную величину в реальное множество и наоборот, нужны порой значительные усилия или особые условия. Таковы, например, ядерные реакции распада и синтеза. С точки зрения количества реакции являются ничем иным, как формами преобразования одного вида количества в другой (в случае распада — величины в множество; в случае синтеза — множества в величину).
Поскольку всякое количество — единство дискретного и непрерывного, постольку разные виды количества образуются не иначе как в результате различных сочетаний этих сторон количества. В множестве преобладает дискретная составляющая; это — дискретно-непрерывное количество. В величине преобладает непрерывная составляющая; это — непрерывно-дискретное количество. Таковы реальные множество и величина.
Реальное множество не является чисто дискретным количеством. Оно всегда есть некоторая целокупность элементов, а, значит, некоторая непрерывность. Множество не было бы множеством, если бы составляющие его элементы были абсолютно разделены, отделены друг от друга как нечто чисто прерывное. Ведь в этом случае его нельзя было бы отделить, отграничить от других множеств. Действительность же такова, что реальные множества отделены друг от друга и в гораздо большей степени, чем элементы самих множеств. Например, груды камней, лесные массивы, газовые оболочки Земли и Венеры. В случае, если множества не отделены друг от друга в большей степени, чем элементы внутри них, происходит неизбежное смешение этих множеств (например, диффузия газов) и образуется одно множество.
Так же и реальная величина не является чисто непрерывным количеством. Дело в том, что о большей или меньшей величине можно говорить лишь по отношению к другим величинам. А это значит, что мы должны выйти за рамки данной величины, прервать непрерывное, чтобы определить его значение (величину). Реальная величина не является абсолютно непрерывной и в том смысле, что ее всегда (в принципе) можно разделить, раздробить, рассечь, поскольку она — величина целого, которое по определению состоит из частей.
Особого внимания заслуживает анализ Гегелем проблемы соотношения моментов и видов количества. С самого начала Гегель рассматривал непрерывное и дискретное как взаимосвязанные моменты количества. Если он говорил о непрерывном количестве, то непременно указывал на содержащийся в нем момент дискретности, и наоборот, в дискретном количестве отмечал момент непрерывности. В "Философской пропедевтике" он пишет: "Величина либо непрерывна, либо дискретна. Однако каждому из этих двух видов величины присуща как дискретность, так и непрерывность, с той лишь разницей, что у дискретной величины принципом является дискретность, а у непрерывной — непре- рывность"[240]. В "Энциклопедии философских наук" Гегель несколько отходит от такой трактовки непрерывного и дискретного, как видов количества, и, воюя с метафизическим разделением и противопоставлением этих моментов, подчеркивает лишь их взаимосвязь, нераздельность.
"Количество, — пишет он, — взятое в его непосредственном соотношении с собой, или, иными словами, в определении положенного притяжением равенства с самим собой, есть непрерывная величина, а взятое в другом, содержащемся в нем определении одного, оно — дискретная величина. Но первое количество также и дискретно, ибо оно есть лишь непрерывность многого, а второе также и непрерывно, и его непрерывность есть одно как тождественное многих одних, как единица.
Примечание. 1) Не следует поэтому рассматривать непрерывные и дискретные величины как виды, один из которых не обладает определением другого; на самом же деле они отличаются друг от друга лишь тем, что одно и то же целое один раз полагается под одним из своих определений, а другой раз — под другим (...)
Прибавление. Количество... столь же непрерывно, сколь и дискретно. Каждый из этих двух моментов содержит в себе также и другой, и нет, следовательно, ни только непрерывной, ни только дискретной величины. Если, несмотря на это, говорят о непрерывной и дискретной величинах как о двух особенных, противостоящих друг другу видах величины, то это лишь результат нашей абстрагирующей рефлексии, которая, рассматривая определенные величины, в одном случае, оставляют без внимания один, а в другом — другой из моментов, содержащихся в понятии количества в неразрывном единстве. Говорят, например, что пространство, занимаемое этой комнатой, есть непрерывная величина, а собравшиеся в нем сто человек образуют дискретную величину. Но пространство в одно и то же время и непрерывно и дискретно, и, согласно этому, мы говорим о пространственных точках, делим пространство (например, определенную длину) на столько то и столько-то футов, дюймов и т. д.; это мы можем делать, только исходя из предпосылки, что пространство в себе дискретно.
Но с другой стороны, состоящая из ста человек дискретная величина вместе с тем непрерывна и непрерывность этой величины имеет основание в том, что обще им всем — в роде “человек”, который проходит сквозь всех этих отдельных людей и связывает их друг с другом" .
Как можно судить по данному фрагменту из Малой логики, Гегель не видит разницы между сторонами (моментами) количества и его видами. Он прав, когда непрерывное и дискретное характеризует как моменты количества и отвергает их трактовку как видов количества, "один из которых не обладает определением другого". Но он не замечает или не хочет замечать того, что реальные количества бывают разными, разных видов и в них по- разному преломляются непрерывное и дискретное. Гегель ничего не говорит о реальном различии между величинами и множествами, т. е. между непрерывно-дискретными и дискретнонепрерывными количествами. Отождествляя виды количества с его моментами, он тем самым вынужден рассматривать различение видов количества как субъективный акт, как "результат нашей абстрагирующей рефлексии”. Одним словом, выступая против метафизического разделения и противопоставления непрерывного и дискретного, Г егель "ударился" в другую крайность, а именно, абсолютизировал их нераздельность, слитность (этим отдавая явное предпочтение непрерывному перед дискретным, ведь раздельность и нераздельность опять же, категориальнологически соответственны дискретному и непрерывному).
Обратимся теперь к Большой логике. В этом сочинении Гегель наиболее полно и подробно изложил свое учение о категориях. Для нас важен фрагмент, посвященный непрерывной и дискретной величине. В этом фрагменте Гегель, по существу, признал существование двух разных видов количества — в "лице" непрерывной и дискретной величин. Правда, признание далось ему нелегко. Он сделал его со всяческими оговорками, в несколько туманной и абстрактной форме. Вот этот фрагмент:
"Количество содержит оба момента — непрерывность и дискретность. Оно должно быть положено в обоих моментах как в своих определениях. Оно уже с самого начала их непосредственное единство, т. е. само оно прежде всего положено лишь в одном из своих определений — в непрерывности, и есть, таким образом, непрерывная величина.
Или, иначе говоря, непрерывность есть, правда, один из моментов количества, которое завершено лишь вместе с другим моментом, с дискретностью, однако количество есть конкретное единство лишь постольку, поскольку оно единство различенных моментов. Последние следует поэтому брать также и как различенные; мы должны, однако, не вновь разлагать их на притяжение и отталкивание, а брать их согласно их истине, каждый в его единстве с другим, т. е. так, что каждый остается целым. Непрерывность есть лишь связное, сплошное единство как единство дискретного; положенная так, она уже не есть только момент, а все количество, непрерывная величина...
Дискретность подобно непрерывности есть момент количества, но сама она есть также и все количество, именно потому, что она момент в последнем, в целом и, следовательно, как различенное не выступает из этого целого, из своего единства с другим моментом. Количество есть бытие-вне-друг-друга в себе, а непрерывная величина есть это бытие-вне-друг-друга как продолжающее себя без отрицания, как в самой себе равная связь. Дискретная же величина есть эта внеположенность как не непрерывная, как прерываемая. Однако с этим множеством “одних" у нас снова не получается множество атомов и пустота, вообще отталкивание.
Так как дискретная величина есть количество, то сама ее дискретность непрерывна. Эта непрерывность в дискретном состоит в том, что у них одна и та же единица. Дискретная величина есть, следовательно, внеположенность многих "одних" как равных, не многие "одни" вообще, а положенные как "многие'' некоторой единицы.
П р и м е ч а н и е
В обычных представлениях о непрерывной и дискретной величинах упускают из виду, что каждая из этих величин имеет в себе оба момента, и непрерывность и дискретность, и их отличие друг от друга составляет только то, какой из двух моментов есть положенная определенность и какой есть только в себе сущая определенность. Пространство, время, материя и т. д. суть непрерывные величины, будучи отталкиваниями от самих себя, текучее исхождение из себя, которое в то же время не есть переход или отношение к качественно иному. Они имеют абсолютную возможность, чтобы " одно" повсюду было положено в них; положено не как пустая возможность простого инобытия (как, например, говорят, что возможно, чтобы вместо этого камня стояло дерево), а они содержат принцип "одного" в самих себе; этот принцип — одно из определений, из которых они конституированы.
И наоборот, в дискретной величине не следует упускать из виду непрерывность; этим последним моментом, как показано, служит “одно " как единица.
Непрерывную и дискретную величины можно рассматривать как виды количества, но лишь постольку, поскольку величина положена не какой-нибудь внешней определенностью, в определенностями ее собственных моментов. Обычный переход от рода к виду вводит в первый — согласно некоторому внешнему его основанию деления, — внешние определения. Непрерывная и дискретная величины при этом еще не определенные величины; они лишь само количество в каждой из его двух форм. Их называют величинами постольку, поскольку они вообще имеют то общее с определенным1 количеством, что они суть некоторая определенность в количестве” .
К сожалению, Гегель не развил свою мысль о двух видах количества. Он "застрял" на абстрактной форме их представления. Кроме того, он совершенно неправильно связал понятие непрерывной величины с понятиями пространства, времени и материи (понимание последних только как некоторых непрерывностей, пусть даже содержащих в себе момент дискретности, является слишком узким и потому неверным). Далее, сами названия видов количества — непрерывная и дискретная величины — не совсем удачны. Они, с одной стороны, ничего не прибавляют к содержанию самых сторон-моментов количества — непрерывного и дискретного, т. е. не отдифференцированы от последних. А с другой, включает в себя слово "величина", которое традиционно, со времен Аристотеля служило для обозначения одного из видов количества — непрерывного количества. Приходится в связи с этим констатировать, что у Гегеля есть некоторый крен в сторону абсолютизации непрерывного (выше мы уже говорили об этом в связи с анализом фрагмента из Малой логики). Не случайно он игнорирует множество — другой аристотелевский термин, служащий для обозначения дискретного количества. Вероятно он считает его слишком явным выражением дискретного.
Вслед за Аристотелем мы называем противоположные виды количества множеством и величиной. Эти термины как нельзя лучше подходят для обозначения дискретно-непрерывного и непрерывно-дискретного количеств.
Следует, однако, иметь в виду, что “множество” и “величина” служат не только для обозначения реальных видов количества. В математике и других науках они используются для выражения отвлеченных понятий, специфических абстракций. Математическое понятие величины по содержанию гораздо уже общего понятия величины. Так же и понятие множества, используемое в теоретико-множественной математике, имеет ограниченное, специфическое содержание, определяемое системой аксиом Церме- ло-Френкеля[241]. Соотношение общих (или философских) понятий величины и множества и конкретно-научных понятий величины и множества — особая проблема. Смешивать эти два типа понятий ни в коем случае нельзя. По сравнению со вторыми первые неизмеримо богаче по содержанию, хотя и менее определенны, точны. Первые отражают все бесконечное многообразие реальных величин и множеств, данное в человеческом опыте, известное человеку и еще неизвестное. Вторые отражают лишь какие-то аспекты реальных величин и множеств в рамках тех или иных теоретических конструкций. Конкретно-научные понятия величины и множества могут лишь асимптотически приближаться по содержанию к философским понятиям величины и множества, никогда не сливаясь с ними.
К видам количества относятся также число и степень. Интуитивно ясно, что в числе преобладает дискретная составляющая количества, а в степени — непрерывная составляющая.
3223.2.
Еще по теме Виды количества: множество, величина, число, степень и т. д.:
- Статья 9. Число третейских судей
- Отдел I Число представителей. Основания представительства
- 3.4. Примеры задачпо нечетким множествам
- SINGULARIS [ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО]
- Множество партнеров
- Множество партнеров
- Продвинутая атриовентрикулярная блокада второй степени и блокада третьей степени типа А1
- Интегрированная концепция иска имеет, пожалуй, наибольшее число сторонников.
- Одиннадцать разрывов преемственности В шестидесятые годы, когда количество социальных критиков, смотревших вперед, превышало количество критиков, смотревших назад, стало обычным определять, по крайней мере, одиннадцать разрывов
- Продвинутая атриовентрикулярная блокада второй степени и блокада третьей степени типа Б
- Количество
- Глава 5 (xv) Распространение христианской религии. — Чувства, нравы, число и положение первых христиан
- Тема: «Абсолютные и относительные величины в статистике».
- Тема: «Расчёт средних величин в статистике».
- Причин перехода от греческого к новоевропейскому типу мышления множество.
- 2. Вычисление величин по диаграмме
- Определённое количество
- Тема: «Структурные средние величины ».
- Внутренний мир — это множество субсистем плюс взаимодействия между ними.